广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定向量空间维数
数域 $F$ 上次数 $\leq 3$ 的多项式及零多项式构成一个线性空间，通常记为 $F_3[x]$。该空间的一组自然基为 $\{1, x, x^2, x^3\}$，因此维数为 $4$。
提示：注意空间包含零多项式，且次数不超过3，所以基向量个数为4。
步骤 2/8
目标：证明集合线性无关
设 $a_1 x^3 + a_2 (x^3+x) + a_3 (x^2+1) + a_4 (x+1) = 0$，整理得 $(a_1+a_2)x^3 + a_3 x^2 + (a_2+a_4)x + (a_3+a_4) = 0$。由于 $\{1, x, x^2, x^3\}$ 线性无关，比较系数得方程组：
$$
\begin{cases}
a_1 + a_2 = 0 \\
a_3 = 0 \\
a_2 + a_4 = 0 \\
a_3 + a_4 = 0
\end{cases}
$$
提示：合并同类项时注意各项系数，不要遗漏常数项。
步骤 3/8
目标：解方程组得零解
由 $a_3=0$ 和 $a_3+a_4=0$ 得 $a_4=0$；代入 $a_2+a_4=0$ 得 $a_2=0$；再由 $a_1+a_2=0$ 得 $a_1=0$。故只有零解，所以向量组线性无关。
提示：解方程组时注意代入顺序，避免计算错误。
步骤 4/8
目标：得出基的结论
由于该向量组有4个向量且线性无关，而空间维数为4，因此它是 $F_3[x]$ 的一个基。
提示：线性无关且向量个数等于维数，则构成基。
步骤 5/8
目标：设坐标并展开多项式
设 $x^2+2x+3 = b_1 x^3 + b_2 (x^3+x) + b_3 (x^2+1) + b_4 (x+1)$，整理得 $(b_1+b_2)x^3 + b_3 x^2 + (b_2+b_4)x + (b_3+b_4) = x^2+2x+3$。
提示：注意等号右边多项式次数为2，左边 $x^3$ 系数应为0。
步骤 6/8
目标：比较系数得方程组
比较系数得方程组：
$$
\begin{cases}
b_1 + b_2 = 0 \\
b_3 = 1 \\
b_2 + b_4 = 2 \\
b_3 + b_4 = 3
\end{cases}
$$
提示：注意常数项对应 $b_3+b_4$，不要混淆。
步骤 7/8
目标：解方程组求坐标
由 $b_3=1$ 代入 $b_3+b_4=3$ 得 $b_4=2$；代入 $b_2+b_4=2$ 得 $b_2=0$；再由 $b_1+b_2=0$ 得 $b_1=0$。故坐标为 $(0,0,1,2)$。
提示：解方程时注意代入顺序，确保每个变量都求出。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
多项式 $x^2+2x+3$ 关于基 $\{x^3, x^3+x, x^2+1, x+1\}$ 的坐标为 $(0,0,1,2)$。
提示：坐标顺序与基中向量顺序一致。
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