广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）设行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=0
$$
令 $\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：矩阵
$$
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$
的秩 $\displaystyle \leq 1$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与符号定义
设原行列式为 $D = \det(A) = 0$，其中 $A = (a_{ij})$ 是 $n \times n$ 矩阵。令 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。需要证明矩阵 $B = (A_{ji})$（即 $B_{ij} = A_{ji}$）的秩 $\leq 1$。注意 $B$ 是 $A$ 的伴随矩阵的转置，因为伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)$ 的元素为 $A_{ji}$。
公式：A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
提示：注意代数余子式的下标顺序：$A_{ij}$ 对应 $a_{ij}$，而伴随矩阵是 $(A_{ji})$。
步骤 2/5
目标：利用行列式为零的性质
由于 $D = \det(A) = 0$，根据行列式按行展开的性质，有 $\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = \delta_{ij} D = 0$ 对所有 $i,j$ 成立。特别地，当 $i=j$ 时，$\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = D = 0$；当 $i \neq j$ 时，$\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0$。这可以写成矩阵形式：$A \cdot \operatorname{adj}(A) = D I = 0$，其中 $\operatorname{adj}(A) = (A_{ji})$。因此 $A \cdot (A_{ji})^T = 0$，即 $A B^T = 0$。
公式：\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = \delta_{ij} D
提示：注意 $\operatorname{adj}(A)$ 的定义是 $(A_{ji})$，所以 $A \cdot \operatorname{adj}(A) = D I$。
步骤 3/5
目标：分析矩阵B的秩的可能情况
考虑 $B$ 的秩。如果 $B = 0$，则秩为0，结论 $\leq 1$ 成立。如果 $B \neq 0$，则存在非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $B \mathbf{x} \neq 0$。由 $A B^T = 0$ 可知，$A$ 的每一行与 $B^T$ 的每一列正交，即 $A$ 的行向量与 $B$ 的行向量正交。因此 $A$ 的行空间与 $B$ 的行空间正交。
提示：注意 $B^T$ 的列是 $B$ 的行，所以 $A B^T = 0$ 表示 $A$ 的行与 $B$ 的行正交。
步骤 4/5
目标：利用A的秩与伴随矩阵秩的关系
由于 $D=0$，$A$ 的秩 $r < n$。已知伴随矩阵的秩满足：若 $r = n$，则 $\operatorname{rank}(\operatorname{adj}(A)) = n$；若 $r = n-1$，则 $\operatorname{rank}(\operatorname{adj}(A)) = 1$；若 $r \leq n-2$，则 $\operatorname{rank}(\operatorname{adj}(A)) = 0$。这里 $r < n$，所以 $r \leq n-1$。如果 $r = n-1$，则 $\operatorname{adj}(A)$ 的秩为1，从而 $B$ 的秩也为1。如果 $r \leq n-2$，则 $\operatorname{adj}(A) = 0$，从而 $B=0$，秩为0。
公式：\operatorname{rank}(\operatorname{adj}(A)) = \begin{cases} n, & \text{if } \operatorname{rank}(A)=n \\ 1, & \text{if } \operatorname{rank}(A)=n-1 \\ 0, & \text{if } \operatorname{rank}(A) \leq n-2 \end{cases}
提示：注意伴随矩阵的秩定理：当 $A$ 满秩时，伴随矩阵满秩；当 $A$ 秩为 $n-1$ 时，伴随矩阵秩为1；否则伴随矩阵为零矩阵。
步骤 5/5
目标：综合得出结论
综上所述，无论 $B$ 是否为零矩阵，其秩要么为0，要么为1，因此 $\operatorname{rank}(B) \leq 1$。证毕。
提示：注意 $B$ 是伴随矩阵的转置，秩相同，所以直接应用伴随矩阵的秩结论即可。
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