广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）$\displaystyle m, p, q$ 适合什么条件时，有 $\displaystyle x^{2}+m x+1 \mid x^{4}+p x^{2}+q$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设多项式并假设整除关系
设 $f(x) = x^4 + p x^2 + q$，$g(x) = x^2 + m x + 1$。由于 $g(x)$ 是二次多项式，$f(x)$ 是四次多项式，若 $g(x) \mid f(x)$，则存在二次多项式 $h(x) = x^2 + a x + b$ 使得 $f(x) = g(x) h(x)$。
提示：注意 $h(x)$ 的首项系数为1，因为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的首项系数都是1。
步骤 2/6
目标：展开乘积并比较系数
展开右边：
$$(x^2 + m x + 1)(x^2 + a x + b) = x^4 + (a + m)x^3 + (b + a m + 1)x^2 + (b m + a)x + b.$$
与 $f(x) = x^4 + 0 \cdot x^3 + p x^2 + 0 \cdot x + q$ 比较系数得方程组：
$$\begin{cases} a + m = 0, \\ b + a m + 1 = p, \\ b m + a = 0, \\ b = q. \end{cases}$$
提示：注意 $f(x)$ 中 $x^3$ 和 $x$ 的系数为0，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：消元得到关系
由第一式得 $a = -m$。代入第三式：$b m - m = m(b - 1) = 0$，所以 $m(b - 1) = 0$。
提示：注意因式分解，不要直接除以 $m$ 而忽略 $m=0$ 的情况。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：$m=0$
情况1：$m = 0$。则 $a = 0$，第二式变为 $b + 1 = p$，第四式 $b = q$，所以 $p = q + 1$。
提示：此时 $m=0$，条件与 $b$ 无关，只需 $p=q+1$。
步骤 5/6
目标：分情况讨论：$b=1$
情况2：$b = 1$。则 $q = 1$，第二式：$1 + a m + 1 = p$，即 $p = 2 + a m$，但 $a = -m$，所以 $p = 2 - m^2$。
提示：注意 $b=1$ 时 $m$ 可以不为0，但 $m=0$ 也包含在此情况中，需注意重叠。
步骤 6/6
目标：合并条件并给出最终答案
因此条件为：
- 若 $m = 0$，则 $p = q + 1$；
- 若 $m \neq 0$，则 $q = 1$ 且 $p = 2 - m^2$。
注意：当 $m = 0$ 且 $q = 1$ 时，$p = 2$ 同时满足两种情况，但此时 $p = q + 1 = 2$ 且 $p = 2 - 0 = 2$，所以条件统一为：$q = 1$ 且 $p = 2 - m^2$，或 $m = 0$ 且 $p = q + 1$。
提示：最终答案应明确写出两种情形，注意 $m=0$ 时 $p=q+1$ 已包含 $q=1$ 的情况。
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