广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造矩阵并化为行最简形
将向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 按列排成矩阵 $A$，并进行行变换化为行最简形。
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
行变换：
$r_1 \leftrightarrow r_2$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$r_2-2r_1, r_3-3r_1, r_4-r_1$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & -1 \\ 0 & -6 & -6 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$r_2 \times (-1/3)$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 \\ 0 & -6 & -6 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$r_3+6r_2, r_4+r_2$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$$
$r_4 \times 3$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$r_2 - (1/3)r_4, r_1 - r_4$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$r_1 - 2r_2$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：行变换过程中注意分数运算，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：确定极大线性无关组
行最简形中主元列对应第1、2、4列，因此极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$。
提示：主元列即每行第一个非零元素所在的列。
步骤 3/6
目标：求子空间的基与维数
向量组生成的子空间的基即为极大线性无关组，维数为极大线性无关组中向量的个数。因此基为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$，维数为3。
提示：子空间的维数等于极大线性无关组中向量的个数。
步骤 4/6
目标：构造交子空间的齐次线性方程组
设 $V_1 = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$，$V_2 = \text{span}\{\beta_1, \beta_2\}$。求交 $V_1 \cap V_2$，即求向量 $\gamma$ 使得 $\gamma = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = y_1\beta_1 + y_2\beta_2$，等价于 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 - y_1\beta_1 - y_2\beta_2 = 0$。将向量按列排成矩阵，得到齐次线性方程组：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = 0$$
提示：注意系数矩阵的列顺序：第一列 $\alpha_1$，第二列 $\alpha_2$，第三列 $-\beta_1$，第四列 $-\beta_2$。
步骤 5/6
目标：解齐次线性方程组
对系数矩阵进行行变换：
$r_2-2r_1, r_3-r_1$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \end{pmatrix}$$
$r_2 \leftrightarrow r_4$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$
$r_3-2r_2, r_4-3r_2$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 8 & 24 \end{pmatrix}$$
$r_3/4$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 24 \end{pmatrix}$$
$r_4-8r_3$：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
回代：$y_2$ 自由，设 $y_2 = t$，则 $y_1 = -3t$，$x_2 = y_1 + 7y_2 = -3t + 7t = 4t$，$x_1 = x_2 + 2y_1 + y_2 = 4t + 2(-3t) + t = -t$。
提示：回代时注意符号，从最后一行开始逐步代入。
步骤 6/6
目标：求交子空间的基与维数
由解得到 $\gamma = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = -t\alpha_1 + 4t\alpha_2 = t(-\alpha_1 + 4\alpha_2)$。计算 $-\alpha_1 + 4\alpha_2 = -(1,2,1,0) + 4(-1,1,1,1) = (-5,2,3,4)$。因此交空间由向量 $(-5,2,3,4)$ 生成，基为 $(-5,2,3,4)$，维数为1。
提示：注意向量线性组合的系数不要遗漏。
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