广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
三、（ 15 分）设向量 $\displaystyle \beta=(1,2,11), \alpha_{1}=(1,1,1,1), \alpha_{2}=(1,1,-1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,1,-1)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)$ ，把 $\displaystyle \beta$ 表成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的线性组合。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设线性组合并建立方程组
设 $\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 + x_4 \alpha_4$，代入向量得：
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 2 \\ x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 11 \\ x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$
公式：线性组合定义：$\beta = \sum_{i=1}^4 x_i \alpha_i$
提示：注意向量维数：$\beta$ 是4维，$\alpha_i$ 也是4维，方程组有4个方程。
步骤 2/8
目标：写出增广矩阵
将方程组写成矩阵形式 $A\mathbf{x} = \beta$，其中
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix}$。
增广矩阵为 $(A|\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 11 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要写错顺序。
步骤 3/8
目标：初等行变换：消去第一列
执行 $R_2 - R_1$，$R_3 - R_1$，$R_4 - R_1$：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 10 \\ 0 & -2 & -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
提示：注意第二行第一列消为0后，第二行第二列也为0，这是正常的。
步骤 4/8
目标：交换行以简化
交换 $R_2$ 与 $R_3$，使第二行第二列非零：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 10 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
提示：交换行时注意不要改变矩阵的等价性。
步骤 5/8
目标：消去第四行第二列
执行 $R_4 - R_2$：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 10 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & -11 \end{pmatrix}$
提示：注意 $R_4$ 减去 $R_2$ 时，第三列元素变为 $-2 - 0 = -2$，第四列变为 $0 - (-2) = 2$。
步骤 6/8
目标：消去第四行第三列
执行 $R_4 - R_3$：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 10 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -12 \end{pmatrix}$
提示：注意 $R_4$ 减去 $R_3$ 后，第四行第三列变为 $-2 - (-2) = 0$，第四列变为 $2 - (-2) = 4$。
步骤 7/8
目标：回代求解未知数
由最后一行：$4x_4 = -12 \Rightarrow x_4 = -3$。
由第三行：$-2x_3 - 2x_4 = 1 \Rightarrow -2x_3 -2(-3)=1 \Rightarrow -2x_3 +6=1 \Rightarrow -2x_3 = -5 \Rightarrow x_3 = \frac{5}{2}$。
由第二行：$-2x_2 - 2x_4 = 10 \Rightarrow -2x_2 -2(-3)=10 \Rightarrow -2x_2 +6=10 \Rightarrow -2x_2=4 \Rightarrow x_2 = -2$。
由第一行：$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \Rightarrow x_1 -2 + \frac{5}{2} -3 = 1 \Rightarrow x_1 - \frac{5}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{2}$。
公式：回代法
提示：注意分数运算，避免符号错误。
步骤 8/8
目标：写出线性表示结果
因此，$\beta = \frac{7}{2} \alpha_1 - 2 \alpha_2 + \frac{5}{2} \alpha_3 - 3 \alpha_4$。
提示：最终结果应写成线性组合形式，系数顺序对应。
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