广西民族大学 2018年高等代数第0题

特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix}$。计算 $\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -3 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix}$。

按第一行展开： $$ \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3 & -3 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda+5 & -3 \\ 6 & \lambda-4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ -6 & \lambda-4 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -3 & \lambda+5 \\ -6 & 6 \end{vmatrix} $$ 计算各子式： - 第一个子式：$(\lambda+5)(\lambda-4) - (-3)(6) = \lambda^2 + \lambda -2$ - 第二个子式：$(-3)(\lambda-4) - (-3)(-6) = -3\lambda -6$ - 第三个子式：$(-3)(6) - (\lambda+5)(-6) = 6\lambda + 12$ 代入得： $$ (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) - 3(-3\lambda-6) + (-3)(6\lambda+12) = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) + 9\lambda + 18 - 18\lambda - 36 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) - 9\lambda - 18 $$

展开 $(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) = \lambda^3 + \lambda^2 -2\lambda - \lambda^2 - \lambda + 2 = \lambda^3 -3\lambda + 2$。 所以特征多项式为： $$ \lambda^3 -3\lambda + 2 - 9\lambda - 18 = \lambda^3 -12\lambda - 16 $$

尝试 $\lambda = -2$，$(-2)^3 -12(-2)-16 = -8+24-16=0$，所以 $\lambda+2$ 是因子。 多项式除法：$(\lambda^3 -12\lambda -16) \div (\lambda+2) = \lambda^2 -2\lambda -8$。 再分解 $\lambda^2 -2\lambda -8 = (\lambda-4)(\lambda+2)$。 所以特征多项式为 $(\lambda+2)^2(\lambda-4)$。 特征值：$\lambda_1 = -2$（二重），$\lambda_2 = 4$（单根）。

解 $(-2I - A) \mathbf{x} = 0$，即 $(-2I - A) = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -3 \\ -3 & 3 & -3 \\ -6 & 6 & -6 \end{pmatrix}$，化简为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 方程组：$x_1 - x_2 + x_3 = 0$。基础解系：取 $x_2 = 1, x_3 = 0$ 得 $x_1 = 1$，向量 $(1,1,0)^T$；取 $x_2 = 0, x_3 = 1$ 得 $x_1 = -1$，向量 $(-1,0,1)^T$。 所以属于 $-2$ 的特征向量为 $k_1(1,1,0)^T + k_2(-1,0,1)^T$，$k_1,k_2$ 不全为零。

解 $(4I - A) \mathbf{x} = 0$，即 $4I - A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ -3 & 9 & -3 \\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix}$。 行化简： $$ \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ -3 & 9 & -3 \\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R2+R1} \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 12 & -6 \\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R3+2R1} \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 12 & -6 \\ 0 & 12 & -6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R3-R2} \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 12 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 进一步化简：$R1/3$，$R2/6$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 方程组：$x_1 + x_2 - x_3 = 0$，$2x_2 - x_3 = 0$。令 $x_3 = 2$，则 $x_2 = 1$，$x_1 = 1$。基础解系：$(1,1,2)^T$。 所以属于 $4$ 的特征向量为 $k(1,1,2)^T$，$k \neq 0$。