广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha\end{array}\right|=\cos n \alpha$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定行列式符号并展开
设 $n$ 阶行列式为 $D_n$，即
$$D_n = \begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}.$$
按第一行展开：
$$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}.$$
公式：行列式按第一行展开公式
提示：注意展开时符号：$(-1)^{1+2}=-1$，所以第二项为负。
步骤 2/7
目标：化简第二个行列式
记第二个行列式为 $M_{n-1}$，即
$$M_{n-1} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}.$$
按第一行展开：
$$M_{n-1} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\
1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2\cos\alpha & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 2\cos\alpha & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)}.$$
第二个行列式第一列全为零，故其值为0。因此
$$M_{n-1} = D_{n-2}.$$
公式：行列式按第一行展开
提示：注意第二个子式第一列全为0，行列式为0。
步骤 3/7
目标：得到递推关系
将 $M_{n-1}=D_{n-2}$ 代入第一步的表达式，得
$$D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}.$$
这就是 $D_n$ 的递推关系。
公式：递推公式 $D_n = \cos\alpha \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$
提示：递推关系是解题关键，需牢记。
步骤 4/7
目标：计算初始条件
当 $n=1$ 时，$D_1 = \cos\alpha$。
当 $n=2$ 时，
$$D_2 = \begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 \\
1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix} = \cos\alpha \cdot 2\cos\alpha - 1 \cdot 1 = 2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha.$$
公式：二阶行列式计算，余弦二倍角公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
提示：注意 $D_2$ 的结果是 $\cos 2\alpha$，与 $n=1$ 一致。
步骤 5/7
目标：猜想通项公式
由 $D_1 = \cos\alpha$，$D_2 = \cos 2\alpha$，猜想 $D_n = \cos n\alpha$。
提示：猜想基于初始值，需用数学归纳法证明。
步骤 6/7
目标：数学归纳法证明
假设 $D_{n-1} = \cos((n-1)\alpha)$，$D_{n-2} = \cos((n-2)\alpha)$，则利用递推关系：
$$\begin{aligned}
D_n &= \cos\alpha \cdot \cos((n-1)\alpha) - \cos((n-2)\alpha) \\
&= \frac{1}{2}[\cos(n\alpha) + \cos((n-2)\alpha)] - \cos((n-2)\alpha) \\
&= \frac{1}{2}\cos(n\alpha) - \frac{1}{2}\cos((n-2)\alpha) \\
&= \cos(n\alpha).
\end{aligned}$$
因此，由数学归纳法，对任意正整数 $n$，$D_n = \cos n\alpha$。
公式：积化和差公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$
提示：注意三角恒等式的正确使用，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：得出结论
原行列式等于 $\cos n\alpha$。
提示：最终结果需明确 $n$ 为行列式阶数。
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