广西民族大学 2018年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2t x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$。

实二次型正定的充要条件是它的矩阵的各阶顺序主子式都大于0。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。

一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。

二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & t \\ t & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - t \cdot t = 1 - t^2$。要求 $\Delta_2 > 0$，即 $1 - t^2 > 0$，解得 $-1 < t < 1$。

三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$。按第一行展开： $\Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - t \cdot \begin{vmatrix} t & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$ 计算各子式： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 1\cdot5 - 2\cdot2 = 5-4=1$， $\begin{vmatrix} t & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = t\cdot5 - 2\cdot(-1) = 5t+2$， $\begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = t\cdot2 - 1\cdot(-1) = 2t+1$。 代入得：$\Delta_3 = 1\cdot1 - t\cdot(5t+2) -1\cdot(2t+1) = 1 -5t^2 -2t -2t -1 = -5t^2 -4t$。

要求 $\Delta_3 > 0$，即 $-5t^2 -4t > 0$。两边乘以 $-1$ 得 $5t^2 + 4t < 0$，即 $t(5t+4) < 0$。解得 $-rac{4}{5} < t < 0$。

由 $\Delta_2>0$ 得 $-10$ 得 $-rac{4}{5}

提示：注意 $\Delta_1$ 自动满足，只需考虑 $\Delta_2$ 和 $\Delta_3$ 的交集。