广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1）
证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明特征向量线性无关：假设线性相关
设存在数 $k_1, k_2$ 使得 $k_1 \varepsilon_1 + k_2 \varepsilon_2 = 0$。
提示：注意特征向量非零，这是线性无关证明的前提。
步骤 2/7
目标：应用线性变换A
两边用线性变换 $A$ 作用，得 $k_1 \lambda_1 \varepsilon_1 + k_2 \lambda_2 \varepsilon_2 = 0$。
公式：$A\varepsilon_i = \lambda_i \varepsilon_i$
提示：利用特征向量的定义，注意线性性。
步骤 3/7
目标：消去一个变量
将第一个方程乘以 $\lambda_1$ 得 $k_1 \lambda_1 \varepsilon_1 + k_2 \lambda_1 \varepsilon_2 = 0$，与第二个方程相减得 $k_2 (\lambda_2 - \lambda_1) \varepsilon_2 = 0$。
提示：相减时注意系数对应，不要混淆。
步骤 4/7
目标：推出系数为零
由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 且 $\varepsilon_2 \neq 0$，故 $k_2 = 0$。代入第一个方程得 $k_1 \varepsilon_1 = 0$，又 $\varepsilon_1 \neq 0$，所以 $k_1 = 0$。因此 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 线性无关。
提示：特征值不同是关键条件，特征向量非零是隐含条件。
步骤 5/7
目标：反证法假设和是特征向量
假设 $\varepsilon_1 + \varepsilon_2$ 是 $A$ 的特征向量，则存在特征值 $\mu$ 使得 $A(\varepsilon_1 + \varepsilon_2) = \mu (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$。
提示：注意特征向量的定义：非零向量且满足线性变换后是数乘。
步骤 6/7
目标：展开并整理等式
左边 $= \lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda_2 \varepsilon_2$，所以 $\lambda_1 \varepsilon_1 + \lambda_2 \varepsilon_2 = \mu \varepsilon_1 + \mu \varepsilon_2$，即 $(\lambda_1 - \mu) \varepsilon_1 + (\lambda_2 - \mu) \varepsilon_2 = 0$。
提示：移项时注意符号。
步骤 7/7
目标：利用线性无关推出矛盾
由（1）知 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 线性无关，故 $\lambda_1 - \mu = 0$ 且 $\lambda_2 - \mu = 0$，从而 $\lambda_1 = \lambda_2$，与已知矛盾。所以 $\varepsilon_1 + \varepsilon_2$ 不是 $A$ 的特征向量。
提示：线性无关推出系数全为零，从而特征值相等，与条件矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。