广西民族大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{r}$ 是互不相同的数，$\displaystyle r \leq n, a_{i}=\left(1, t_{i}, \cdots, t_{i}^{n-1}\right), i=1,2, \cdots, r$ ，证明：向量组 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ 是线性无关的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定线性组合为零
设存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_r$ 使得 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_r a_r = 0$，其中 $a_i = (1, t_i, \dots, t_i^{n-1})$。
提示：注意向量是行向量，但线性组合按分量进行。
步骤 2/7
目标：写出分量方程
由向量相等，每个分量对应相等，得到 $\sum_{i=1}^r k_i t_i^j = 0$，对 $j = 0,1,\dots,n-1$ 成立。
公式：\sum_{i=1}^r k_i t_i^j = 0, \quad j = 0,1,\dots,n-1
提示：注意 $t_i^0 = 1$，第一个分量对应 $j=0$。
步骤 3/7
目标：取前r个方程
由于 $r \leq n$，我们只取前 $r$ 个方程（$j=0,1,\dots,r-1$）即可。这 $r$ 个方程构成一个关于 $k_1,\dots,k_r$ 的齐次线性方程组。
提示：为什么只取前r个？因为后面方程可能冗余，但前r个已足够推出结论。
步骤 4/7
目标：写出系数矩阵
方程组 $\sum_{i=1}^r k_i t_i^j = 0$（$j=0,\dots,r-1$）的系数矩阵为 $V = \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \cdots & t_1^{r-1} \\ 1 & t_2 & \cdots & t_2^{r-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_r & \cdots & t_r^{r-1} \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的行对应不同的 $t_i$，列对应不同的幂次。
步骤 5/7
目标：计算行列式
系数矩阵的行列式为 Vandermonde 行列式：$\det V = \prod_{1 \le i < j \le r} (t_j - t_i)$。由于 $t_1,\dots,t_r$ 互不相同，故 $\det V \neq 0$。
公式：\det V = \prod_{1 \le i < j \le r} (t_j - t_i)
提示：Vandermonde行列式公式要记牢，注意符号：通常为 $\prod_{i
步骤 6/7
目标：推出系数全为零
因为系数矩阵的行列式非零，所以齐次线性方程组只有零解，即 $k_1 = k_2 = \cdots = k_r = 0$。
提示：齐次线性方程组系数矩阵可逆时只有零解。
步骤 7/7
目标：得出结论
由线性无关的定义，向量组 $a_1, a_2, \dots, a_r$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：仅当所有系数为零时线性组合才为零。
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