广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）
设 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，$\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ，且满足 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ ，证明 $\displaystyle m, n, p$ 具有相同的奇偶性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入单位根并利用整除条件
设 $\omega = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，则 $\omega^2 - \omega + 1 = 0$，且 $\omega^3 = -1$，$\omega^6 = 1$。由于 $g(x) = x^2 - x + 1$ 是分圆多项式，其根为 $\omega$ 和 $\omega^5$。由 $g(x) \mid f(x)$ 知 $f(\omega) = 0$ 且 $f(\omega^5) = 0$。
公式：$\omega^2 - \omega + 1 = 0$，$\omega^3 = -1$
提示：注意 $\omega$ 是 $x^2-x+1=0$ 的根，且 $\omega^3=-1$，$\omega^6=1$。
步骤 2/6
目标：计算 $f(\omega)$ 并化简
计算 $f(\omega) = \omega^{3m} - \omega^{3n+1} + \omega^{3p+2}$。利用 $\omega^3 = -1$，有 $\omega^{3m} = (-1)^m$，$\omega^{3n+1} = \omega \cdot \omega^{3n} = \omega \cdot (-1)^n$，$\omega^{3p+2} = \omega^2 \cdot \omega^{3p} = \omega^2 \cdot (-1)^p$。因此 $f(\omega) = (-1)^m - \omega (-1)^n + \omega^2 (-1)^p$。
公式：$\omega^{3k} = (-1)^k$
提示：注意指数运算：$\omega^{3n+1} = \omega \cdot \omega^{3n}$，不要漏掉因子。
步骤 3/6
目标：利用 $\omega^2 = \omega - 1$ 代入
由 $\omega^2 - \omega + 1 = 0$ 得 $\omega^2 = \omega - 1$。代入 $f(\omega)$：$f(\omega) = (-1)^m - \omega (-1)^n + (\omega - 1)(-1)^p = (-1)^m - \omega (-1)^n + \omega (-1)^p - (-1)^p$。
公式：$\omega^2 = \omega - 1$
提示：代入时注意符号，$\omega^2$ 替换为 $\omega - 1$。
步骤 4/6
目标：整理 $f(\omega)$ 为关于 $1$ 和 $\omega$ 的线性组合
整理得：$f(\omega) = [(-1)^m - (-1)^p] + \omega[(-1)^p - (-1)^n]$。
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 5/6
目标：利用 $1$ 和 $\omega$ 的线性无关性得到方程组
由于 $1$ 和 $\omega$ 在有理数上线性无关（因为 $\omega$ 不是实数），$f(\omega)=0$ 当且仅当系数均为零：$(-1)^m - (-1)^p = 0$ 且 $(-1)^p - (-1)^n = 0$。
提示：线性无关性：若 $a + b\omega = 0$ 且 $a,b \in \mathbb{Q}$，则 $a=b=0$。
步骤 6/6
目标：推导奇偶性结论
由方程组得 $(-1)^m = (-1)^p$ 且 $(-1)^p = (-1)^n$，所以 $(-1)^m = (-1)^n = (-1)^p$。因此 $m, n, p$ 具有相同的奇偶性。
提示：注意 $(-1)^k = 1$ 当 $k$ 为偶数，$(-1)^k = -1$ 当 $k$ 为奇数。
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