广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）
已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下：
$$
\begin{gathered}
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\},
\end{gathered}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解子空间W的定义
子空间$W$定义为所有满足$x_{11}+x_{22}=0$的$2\times 2$矩阵的集合。即矩阵的迹为零。
提示：注意条件$x_{11}+x_{22}=0$，不要遗漏。
步骤 2/8
目标：将W中矩阵参数化
令$x_{11}=a$，则$x_{22}=-a$，$x_{12}=b$，$x_{21}=c$，其中$a,b,c\in K$。则$W$中矩阵可写为：
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：参数化时注意自由参数的个数。
步骤 3/8
目标：写出W的一个基
由参数化表达式可知，矩阵
$$E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
线性无关且张成$W$，故它们构成$W$的一个基。
提示：基的个数等于自由参数的个数，这里为3。
步骤 4/8
目标：明确不变子空间的定义
要证明$W$是$\Psi$的不变子空间，需证对任意$X\in W$，有$\Psi(X)\in W$。即$\Psi(X)$的迹为零。
提示：不变子空间要求像仍在子空间中。
步骤 5/8
目标：计算B^T X
已知$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$B^T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。设$X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$，则
$$B^T X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ a+c & b-a \end{pmatrix}.$$
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘。
步骤 6/8
目标：计算X^T B
先求$X^T=\begin{pmatrix} a & c \\ b & -a \end{pmatrix}$，再右乘$B$：
$$X^T B = \begin{pmatrix} a & c \\ b & -a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & a+c \\ b & b-a \end{pmatrix}.$$
公式：矩阵乘法
提示：注意转置的正确计算。
步骤 7/8
目标：计算Psi(X)并验证迹为零
$$\Psi(X)=B^T X - X^T B = \begin{pmatrix} a & b \\ a+c & b-a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & a+c \\ b & b-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & b-a-c \\ a+c-b & 0 \end{pmatrix}.$$
可见$\Psi(X)$的对角线元素均为0，故迹为0，即$\Psi(X)\in W$。
提示：注意减法运算，不要出错。
步骤 8/8
目标：得出结论
由于对任意$X\in W$，$\Psi(X)\in W$，因此$W$是$\Psi$的不变子空间。
提示：结论要明确。
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