广西民族大学 2019年高等代数第0题

对于线性方程组 $$\left\{\begin{array}{c}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{array}\right.$$ 其系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$ 分别为 $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & \lambda-3 \\ 1 & \lambda & 1 & -2 \\ 1 & 1 & \lambda & -2 \end{pmatrix}.$$

计算 $\det A$： $$\det A = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda+2)(\lambda-1)^2.$$ （可以通过行变换或特征值方法得到）

当 $\det A \neq 0$ 时，方程组有唯一解。由 $\det A = (\lambda+2)(\lambda-1)^2 \neq 0$ 得 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$。

当 $\lambda = 1$ 时，代入得 $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$$ 显然 $r(A)=1$，$r(\bar{A})=1$，所以方程组有无穷多解。

当 $\lambda = -2$ 时，代入得 $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.$$ 对增广矩阵进行行变换： $$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{R_2+2R_1, R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & -9 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}.$$ 最后一行对应 $0 = -9$，矛盾，所以无解。

综上所述： - 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，方程组有唯一解； - 当 $\lambda = 1$ 时，方程组有无穷多解； - 当 $\lambda = -2$ 时，方程组无解。