广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
九、（20分）
已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明ker A ∩ ker B = {0}
设 $x \in \ker A \cap \ker B$，则 $Ax = 0$，$Bx = 0$。由 $AC + BD = E$，得 $x = Ex = (AC + BD)x = A(Cx) + B(Dx) = 0 + 0 = 0$，故 $x = 0$，所以 $\ker A \cap \ker B = \{0\}$。
公式：$AC + BD = E$
提示：注意利用交换性：$A(Cx) = C(Ax)$，但这里直接代入$Ax=0$即可，无需交换性。
步骤 2/7
目标：证明ker A + ker B ⊆ ker(AB)
对任意 $x \in \ker A$，有 $Ax = 0$，则 $ABx = BAx = B0 = 0$，故 $x \in \ker(AB)$。同理，对任意 $x \in \ker B$，有 $Bx = 0$，则 $ABx = A0 = 0$，故 $x \in \ker(AB)$。因此 $\ker A + \ker B \subseteq \ker(AB)$。
提示：注意$A$与$B$可交换，所以$ABx = BAx$。
步骤 3/7
目标：证明ker(AB) ⊆ ker A + ker B
设 $x \in \ker(AB)$，即 $ABx = 0$。由 $AC + BD = E$，得 $x = Ex = (AC + BD)x = A(Cx) + B(Dx)$。令 $u = B(Dx)$，$v = A(Cx)$，则 $x = u + v$。
公式：$x = A(Cx) + B(Dx)$
提示：注意这里$u$和$v$的定义，后续需要证明$u \in \ker A$，$v \in \ker B$。
步骤 4/7
目标：证明u ∈ ker A
计算 $Au = A(B(Dx))$。由于$A$与$B$可交换，$A(B(Dx)) = B(A(Dx))$。又$A$与$D$可交换，$A(Dx) = D(Ax)$，所以 $Au = B(D(Ax))$。由$ABx = 0$得$B(Ax) = 0$，即$Ax \in \ker B$。又$B$与$D$可交换，$B(D(Ax)) = D(B(Ax)) = D(0) = 0$，故$Au = 0$，即$u \in \ker A$。
公式：$Au = B(D(Ax))$
提示：关键步骤：利用$ABx=0$推出$B(Ax)=0$，然后利用交换性将$B(D(Ax))$化为$D(B(Ax))$。
步骤 5/7
目标：证明v ∈ ker B
计算 $Bv = B(A(Cx))$。由于$A$与$B$可交换，$B(A(Cx)) = A(B(Cx))$。又$B$与$C$可交换，$B(Cx) = C(Bx)$，所以 $Bv = A(C(Bx))$。由$ABx = 0$得$A(Bx) = 0$，即$Bx \in \ker A$。又$A$与$C$可交换，$A(C(Bx)) = C(A(Bx)) = C(0) = 0$，故$Bv = 0$，即$v \in \ker B$。
公式：$Bv = A(C(Bx))$
提示：与上一步类似，注意对称性。
步骤 6/7
目标：得出ker(AB) = ker A + ker B
由步骤2和步骤3-5，有 $\ker(AB) \subseteq \ker A + \ker B$ 和 $\ker A + \ker B \subseteq \ker(AB)$，故 $\ker(AB) = \ker A + \ker B$。
提示：注意包含关系的方向。
步骤 7/7
目标：结论：ker(AB) = ker A ⊕ ker B
由步骤1得 $\ker A \cap \ker B = \{0\}$，由步骤6得 $\ker(AB) = \ker A + \ker B$，根据直和的定义，$\ker(AB) = \ker A \oplus \ker B$。
提示：直和需要满足和与交的条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。