广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
二、（15分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbf{R}$ ，记 $\displaystyle a_{i j}=\sin \left(\alpha_{i}+\alpha_{j}\right), i, j=1, \cdots, n$ ，定义矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，试对 $\displaystyle n=2$ 时计算行列式 $\displaystyle |A|$ 的值；当 $\displaystyle n \geq 3$ 时结果如何？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出n=2时的矩阵形式
当 $n=2$ 时，矩阵 $A = \begin{pmatrix} \sin(\alpha_1+\alpha_1) & \sin(\alpha_1+\alpha_2) \\ \sin(\alpha_2+\alpha_1) & \sin(\alpha_2+\alpha_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin 2\alpha_1 & \sin(\alpha_1+\alpha_2) \\ \sin(\alpha_1+\alpha_2) & \sin 2\alpha_2 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵元素的下标对应关系。
步骤 2/7
目标：计算n=2时的行列式表达式
行列式 $|A| = \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 - \sin^2(\alpha_1+\alpha_2)$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：直接应用行列式定义。
步骤 3/7
目标：利用三角恒等式展开
使用恒等式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ 和 $\sin(\alpha_1+\alpha_2) = \sin\alpha_1\cos\alpha_2 + \cos\alpha_1\sin\alpha_2$，代入得：
$|A| = (2\sin\alpha_1\cos\alpha_1)(2\sin\alpha_2\cos\alpha_2) - (\sin\alpha_1\cos\alpha_2 + \cos\alpha_1\sin\alpha_2)^2$。
公式：$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
提示：注意展开平方项时不要遗漏交叉项。
步骤 4/7
目标：化简行列式表达式
展开并合并同类项：
$|A| = 4\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2 - (\sin^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 + 2\sin\alpha_1\cos\alpha_2\cos\alpha_1\sin\alpha_2 + \cos^2\alpha_1\sin^2\alpha_2)$
$= 4\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2 - \sin^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 - 2\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2 - \cos^2\alpha_1\sin^2\alpha_2$
$= 2\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2 - \sin^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 - \cos^2\alpha_1\sin^2\alpha_2$。
提示：注意合并时符号的变化。
步骤 5/7
目标：配方得到最终结果
将上式写成完全平方形式：
$|A| = -\left( \sin^2\alpha_1\cos^2\alpha_2 - 2\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2 + \cos^2\alpha_1\sin^2\alpha_2 \right)$
$= -\left( \sin\alpha_1\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1\sin\alpha_2 \right)^2$
$= -\sin^2(\alpha_1 - \alpha_2)$。
公式：$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
提示：注意负号的处理，以及平方差公式的逆用。
步骤 6/7
目标：分析n≥3时矩阵的秩
将 $a_{ij} = \sin(\alpha_i+\alpha_j)$ 改写为 $a_{ij} = \sin\alpha_i\cos\alpha_j + \cos\alpha_i\sin\alpha_j$。令 $u_i = \sin\alpha_i$，$v_i = \cos\alpha_i$，则 $A = u v^T + v u^T$，其中 $u = (u_1,\dots,u_n)^T$，$v = (v_1,\dots,v_n)^T$。矩阵 $A$ 是两个秩1矩阵的和，故 $\operatorname{rank}(A) \leq 2$。
公式：$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
提示：注意向量外积的秩性质：$uv^T$ 的秩为1（当 $u,v$ 非零时）。
步骤 7/7
目标：得出n≥3时的行列式结论
当 $n \geq 3$ 时，$n > \operatorname{rank}(A)$，所以矩阵 $A$ 是奇异的，行列式 $|A| = 0$。
公式：若 $\operatorname{rank}(A) < n$，则 $\det(A)=0$
提示：秩小于阶数是矩阵奇异的充要条件。
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