广西民族大学 2019年高等代数第0题

五、（20分） 已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ； （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。