广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
八、（20分）
设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当
$$
\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入特征值
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（计入代数重数）。则 $A^k$ 的特征值为 $\lambda_1^k, \lambda_2^k, \dots, \lambda_n^k$，且迹 $\operatorname{tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$。
公式：$\operatorname{tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$
提示：注意特征值可能重复，但求和时计入重数。
步骤 2/6
目标：证明必要性
若 $A^n = 0$，则 $A$ 是幂零矩阵，其特征值全为 $0$。因此对任意 $k \geq 1$，$\lambda_i^k = 0$，故 $\operatorname{tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n 0 = 0$，特别地对 $k=1,\dots,n$ 成立。
提示：幂零矩阵的特征值全为零。
步骤 3/6
目标：证明充分性：利用牛顿恒等式
假设 $\operatorname{tr}(A^k)=0$ 对 $k=1,\dots,n$ 成立。记 $p_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k = \operatorname{tr}(A^k)=0$。设 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 的初等对称多项式，即特征多项式 $\chi_A(\lambda) = \lambda^n - e_1 \lambda^{n-1} + e_2 \lambda^{n-2} - \cdots + (-1)^n e_n$。牛顿恒等式给出：
$$\begin{cases} p_1 + e_1 = 0 \\ p_2 + e_1 p_1 + 2 e_2 = 0 \\ \vdots \\ p_n + e_1 p_{n-1} + \cdots + n e_n = 0 \end{cases}$$
公式：牛顿恒等式
提示：注意牛顿恒等式中系数的符号和因子，此处使用标准形式。
步骤 4/6
目标：推导初等对称多项式为零
由于 $p_1 = p_2 = \cdots = p_n = 0$，代入牛顿恒等式得：
$p_1 + e_1 = 0 \Rightarrow e_1 = 0$；
$p_2 + e_1 p_1 + 2 e_2 = 0 \Rightarrow 0 + 0 + 2 e_2 = 0 \Rightarrow e_2 = 0$；
依次类推，可得 $e_1 = e_2 = \cdots = e_n = 0$。
提示：递推时注意前面已得 $e_1,\dots,e_{k-1}=0$，从而 $p_k$ 项和含 $e_i$ 的项均为0。
步骤 5/6
目标：得到特征多项式并应用Cayley-Hamilton定理
由 $e_1 = \cdots = e_n = 0$，特征多项式为 $\chi_A(\lambda) = \lambda^n$。根据 Cayley-Hamilton 定理，$A$ 满足其特征多项式，即 $A^n = 0$。
公式：$\chi_A(\lambda) = \lambda^n$，Cayley-Hamilton定理
提示：Cayley-Hamilton定理：矩阵满足自身特征多项式。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$A^n=0$ 当且仅当 $\operatorname{tr}(A^k)=0$ 对 $k=1,\dots,n$ 成立。
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