广西民族大学 2019年高等代数第0题

二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = a x_1^2 + a x_2^2 + (a-1) x_3^2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$ 的矩阵为对称矩阵，其中平方项系数对应主对角线元素，交叉项系数一半对应非对角线元素。因此矩阵为 \[ A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & a & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}. \]

特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$，计算行列式： \[ \det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a & 0 & -1 \\ 0 & \lambda - a & 1 \\ -1 & 1 & \lambda - (a-1) \end{vmatrix}. \] 按第一行展开： \[ = (\lambda - a) \begin{vmatrix} \lambda - a & 1 \\ 1 & \lambda - a + 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 0 & \lambda - a \\ -1 & 1 \end{vmatrix}. \]

计算第一个子行列式： \[ \begin{vmatrix} \lambda - a & 1 \\ 1 & \lambda - a + 1 \end{vmatrix} = (\lambda - a)(\lambda - a + 1) - 1. \] 计算第二个子行列式： \[ \begin{vmatrix} 0 & \lambda - a \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - (\lambda - a)(-1) = \lambda - a. \]

代入得： \[ \det(\lambda I - A) = (\lambda - a)[(\lambda - a)(\lambda - a + 1) - 1] + (-1)(\lambda - a) = (\lambda - a)[(\lambda - a)(\lambda - a + 1) - 2]. \] 展开括号内： \[ (\lambda - a)(\lambda - a + 1) - 2 = (\lambda - a)^2 + (\lambda - a) - 2. \] 因式分解： \[ = (\lambda - a - 1)(\lambda - a + 2). \] 因此特征多项式为 \[ \det(\lambda I - A) = (\lambda - a)(\lambda - a - 1)(\lambda - a + 2). \]

令特征多项式为零，得特征值： \[ \lambda_1 = a, \quad \lambda_2 = a+1, \quad \lambda_3 = a-2. \]

规范形为 $y_1^2 + y_2^2$，表示二次型秩为2，正惯性指数为2，负惯性指数为0。因此特征值中两个为正，一个为零。

特征值为 $a$, $a+1$, $a-2$。令其中一个为零： - 若 $a=0$，则特征值为 $0,1,-2$，有负值，不符合。 - 若 $a+1=0$ 即 $a=-1$，则特征值为 $-1,0,-3$，有两个负值，不符合。 - 若 $a-2=0$ 即 $a=2$，则特征值为 $2,3,0$，两个正数一个零，符合。 因此 $a=2$。