广西民族大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简方程
由 $A^*X = A^{-1} + 2X$ 移项得 $(A^* - 2I)X = A^{-1}$。
提示：注意移项时符号变化，$2X$ 移到左边变为 $-2X$。
步骤 2/8
目标：计算A的行列式
计算 $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$|A| = 1 \cdot (1\cdot1 - 1\cdot(-1)) - 1 \cdot ((-1)\cdot1 - 1\cdot1) + (-1) \cdot ((-1)\cdot(-1) - 1\cdot1) = 1\cdot(1+1) -1\cdot(-1-1) -1\cdot(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：$a_{12}$ 的代数余子式带负号。
步骤 3/8
目标：利用伴随矩阵性质
由于 $A^* = |A| A^{-1} = 4A^{-1}$，代入方程得 $4A^{-1}X = A^{-1} + 2X$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系仅当 $A$ 可逆时成立，此处 $|A|=4 \neq 0$。
步骤 4/8
目标：消去逆矩阵
两边左乘 $A$ 得 $4X = I + 2AX$，移项得 $4X - 2AX = I$，即 $(4I - 2A)X = I$。
提示：左乘 $A$ 时注意顺序，$A \cdot A^{-1} = I$。
步骤 5/8
目标：计算矩阵B
令 $B = 4I - 2A$，计算：$B = 4\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-2&2\\2&2&-2\\-2&2&2\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵减法，对应元素相减。
步骤 6/8
目标：求B的行列式
计算 $|B| = \begin{vmatrix}2&-2&2\\2&2&-2\\-2&2&2\end{vmatrix}$。按第一行展开：$|B| = 2\cdot(2\cdot2 - (-2)\cdot2) - (-2)\cdot(2\cdot2 - (-2)\cdot(-2)) + 2\cdot(2\cdot2 - 2\cdot(-2)) = 2\cdot(4+4) +2\cdot(4-4) +2\cdot(4+4) = 16+0+16=32$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：$b_{12}$ 的代数余子式带负号，但 $b_{12}=-2$，负负得正。
步骤 7/8
目标：求B的伴随矩阵
计算各元素的代数余子式：$B_{11} = \begin{vmatrix}2&-2\\2&2\end{vmatrix}=8$，$B_{12} = -\begin{vmatrix}2&-2\\-2&2\end{vmatrix}=0$，$B_{13} = \begin{vmatrix}2&2\\-2&2\end{vmatrix}=8$，$B_{21} = -\begin{vmatrix}-2&2\\2&2\end{vmatrix}=8$，$B_{22} = \begin{vmatrix}2&2\\-2&2\end{vmatrix}=8$，$B_{23} = -\begin{vmatrix}2&-2\\-2&2\end{vmatrix}=0$，$B_{31} = \begin{vmatrix}-2&2\\2&-2\end{vmatrix}=0$，$B_{32} = -\begin{vmatrix}2&2\\2&-2\end{vmatrix}=8$，$B_{33} = \begin{vmatrix}2&-2\\2&2\end{vmatrix}=8$。所以 $B^* = \begin{pmatrix}8&8&0\\0&8&8\\8&0&8\end{pmatrix}$。
公式：代数余子式定义
提示：注意代数余子式的符号：$(-1)^{i+j}$，且伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。
步骤 8/8
目标：求逆矩阵并得到X
由 $B^{-1} = \frac{1}{|B|} B^*$ 得 $B^{-1} = \frac{1}{32}\begin{pmatrix}8&8&0\\0&8&8\\8&0&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$。因此 $X = B^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0\\0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$
提示：注意矩阵乘法时系数要乘到每个元素。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。