广西民族大学 2025年高等代数第0题

方程组(1)的系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$。对其进行行变换： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix}.$$

若 $a \neq 2$，则矩阵的秩为3，方程组只有零解。若 $a = 2$，则矩阵的秩为2，方程组有非零解。此时方程组等价于 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ -x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$，解得 $x_2 = -x_3$，$x_1 = -x_3$，基础解系为 $\xi = (-1, -1, 1)^T$。

由于方程组(1)和(2)同解，它们必须有相同的解空间。若(1)只有零解，则(2)也必只有零解，但(2)是2个方程3个未知数，必有非零解（因为秩≤2<3），矛盾。因此(1)必须有非零解，故 $a = 2$。此时(1)的解空间为 $k(-1, -1, 1)^T$，$k \in \mathbb{R}$。

方程组(2)的系数矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 1 & b & c \\ 2 & b^2 & c+1 \end{pmatrix}$。由于(2)与(1)同解，解空间为 $k(-1, -1, 1)^T$，因此 $(-1, -1, 1)^T$ 必须满足(2)的两个方程： $$\begin{cases} (-1) + b(-1) + c \cdot 1 = 0 \\ 2(-1) + b^2(-1) + (c+1) \cdot 1 = 0 \end{cases}$$ 即 $\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -2 - b^2 + c + 1 = 0 \end{cases}$，化简得 $\begin{cases} c = b + 1 \\ -1 - b^2 + c = 0 \end{cases}$。代入得 $-1 - b^2 + (b+1) = 0$，即 $-b^2 + b = 0$，解得 $b = 0$ 或 $b = 1$。

当 $b = 0$ 时，$c = 1$，方程组(2)为 $\begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ 2x_1 + 2x_3 = 0 \end{cases}$，解空间维数为2，与(1)的维数1不同，故不同解。当 $b = 1$ 时，$c = 2$，方程组(2)为 $\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \end{cases}$，系数矩阵行变换得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$，秩为2，解空间维数为1，解为 $x_2 = -x_3$，$x_1 = -x_3$，基础解系为 $(-1, -1, 1)^T$，与(1)相同。因此 $b = 1$，$c = 2$。

方程组(2)的全部解为： $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$$