广西民族大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）
计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}x & a & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & x & a & \mathrm{~L} & a & a \\ -a & -a & x & \mathrm{~L} & a & a \\ \mathrm{M} & \mathrm{M} & \mathrm{M} & 0 & \mathrm{M} & \mathrm{M} \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & x & a \\ -a & -a & -a & \mathrm{~L} & -a & x\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察行列式结构，进行列变换
注意到行列式从第2列到第n列，每一列除了对角线元素外，上方元素为a，下方元素为-a，且第1列元素特殊。将第2列到第n列都加到第1列，得到新行列式：
\[ D_n = \begin{vmatrix} x+(n-1)a & a & a & \cdots & a & a \\ 0 & x & a & \cdots & a & a \\ 0 & -a & x & \cdots & a & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & -a & -a & \cdots & x & a \\ 0 & -a & -a & \cdots & -a & x \end{vmatrix} \]
公式：列和变换：第1列加上其他所有列
提示：注意第1列元素的变化：第一行变为x+(n-1)a，其余行变为0，因为每行除对角线外，上方有a，下方有-a，相加抵消。
步骤 2/6
目标：按第1列展开，降阶
新行列式第1列只有第一行非零，按第1列展开，得到：
\[ D_n = (x+(n-1)a) \cdot \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a & a \\ -a & x & \cdots & a & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -a & -a & \cdots & x & a \\ -a & -a & \cdots & -a & x \end{vmatrix}_{(n-1)} \] 记这个(n-1)阶行列式为 \(D_{n-1}\)，则 \(D_n = (x+(n-1)a) D_{n-1}\)。
公式：行列式按一行（列）展开
提示：展开时注意符号：第1行第1列元素的代数余子式符号为正。
步骤 3/6
目标：递推关系
观察 \(D_{n-1}\) 的结构与 \(D_n\) 完全相同，只是阶数少1。因此可以对 \(D_{n-1}\) 重复同样的操作：将第2列到第n-1列加到第1列，然后按第1列展开，得到 \(D_{n-1} = (x+(n-2)a) D_{n-2}\)，其中 \(D_{n-2}\) 是(n-2)阶行列式。如此反复，得到递推公式：
\[ D_k = (x+(k-1)a) D_{k-1}, \quad k=n,n-1,\ldots,2 \]
公式：递推公式 \(D_k = (x+(k-1)a) D_{k-1}\)
提示：注意每次降阶后，行列式的结构保持不变，只是阶数减少。
步骤 4/6
目标：计算二阶行列式作为初始值
当阶数降到2时，计算 \(D_2\)：
\[ D_2 = \begin{vmatrix} x & a \\ -a & x \end{vmatrix} = x \cdot x - a \cdot (-a) = x^2 + a^2 \]
公式：二阶行列式公式：\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
提示：注意符号：副对角线乘积为 \(a \cdot (-a) = -a^2\)，减去后得 \(x^2 - (-a^2) = x^2 + a^2\)。
步骤 5/6
目标：累乘得到最终结果
由递推关系，从 \(D_n\) 到 \(D_2\) 累乘：
\[ D_n = (x+(n-1)a)(x+(n-2)a)\cdots(x+2a)(x+a) \cdot D_2 \] 代入 \(D_2 = x^2 + a^2\)，得：
\[ D_n = (x^2 + a^2) \prod_{k=1}^{n-1} (x + ka) \] 注意当 \(n=1\) 时，乘积为空，公式给出 \(D_1 = x^2 + a^2\)？实际上 \(n=1\) 时原行列式为 \(x\)，但公式不适用，需单独说明。
公式：累乘公式
提示：注意 \(n=1\) 时，原行列式 \(D_1 = x\)，而公式 \((x^2+a^2)\prod_{k=1}^{0}(x+ka)\) 应理解为 \(x^2+a^2\)，但实际应为 \(x\)，所以公式仅对 \(n\ge2\) 成立。但题目通常 \(n\ge2\)，或可补充说明。
步骤 6/6
目标：整理最终答案
因此，对于 \(n \ge 2\)，\(n\) 阶行列式的值为：
\[ D_n = (x^2 + a^2) \prod_{k=1}^{n-1} (x + ka) \] 当 \(n=1\) 时，\(D_1 = x\)。
提示：最终答案应包含 \(n=1\) 的情况，或注明 \(n\ge2\)。
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