广西民族大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）
设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换
$$
\sigma x=A x, \quad \forall x \in V,
$$
（1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的；
（2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆；
（3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明变换σ是线性的
对于任意$x, y \in V$和任意实数$k$，有
\[
\sigma(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = \sigma(x) + \sigma(y),
\]
\[
\sigma(kx) = A(kx) = k(Ax) = k\sigma(x).
\]
因此$\sigma$是线性变换。
公式：线性变换定义：$\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)$，$\sigma(kx)=k\sigma(x)$
提示：注意矩阵乘法对加法和数乘的分配律。
步骤 2/6
目标：证明σ可逆当且仅当A可逆（必要性）
若$\sigma$可逆，则存在线性变换$\tau$使得$\tau\sigma = \mathrm{id}_V$。特别地，取$x = I$（单位矩阵），则$\tau(AI) = \tau(A) = I$，故$A$有左逆，从而$A$可逆。
公式：可逆变换定义：存在$\tau$使$\tau\sigma = \mathrm{id}_V$
提示：注意$I$是$2\times2$单位矩阵，$A$作为矩阵与$I$相乘得$A$本身。
步骤 3/6
目标：证明σ可逆当且仅当A可逆（充分性）
若$A$可逆，定义变换$\tau: V \to V$为$\tau(y) = A^{-1}y$。则$\tau$是线性的，且
\[
\tau\sigma(x) = A^{-1}(Ax) = x,\quad \sigma\tau(y) = A(A^{-1}y) = y,
\]
故$\sigma$可逆。
公式：$\tau(y)=A^{-1}y$
提示：验证$\tau$的线性性：$\tau(y_1+y_2)=A^{-1}(y_1+y_2)=A^{-1}y_1+A^{-1}y_2=\tau(y_1)+\tau(y_2)$等。
步骤 4/6
目标：计算A的行列式并判断可逆性
给定$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$，计算行列式：
\[
\det(A) = 1\cdot(-4) - 2\cdot(-2) = -4 + 4 = 0,
\]
故$A$不可逆，从而$\sigma$不可逆。
公式：$\det(A)=ad-bc$
提示：注意符号：$1\times(-4) - 2\times(-2) = -4 + 4 = 0$。
步骤 5/6
目标：求核σ^{-1}(0)及其一组基
核为$\{x \in V \mid Ax = 0\}$。设$x = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$，则
\[
Ax = \begin{pmatrix} p+2q & r+2s \\ -2p-4q & -2r-4s \end{pmatrix} = 0,
\]
得$p+2q=0$，$r+2s=0$。故核中矩阵形如
\[
\begin{pmatrix} -2q & q \\ -2s & s \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.
\]
一组基为$\left\{ \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \right\}$，维数为2。
公式：解线性方程组$p+2q=0$，$r+2s=0$
提示：注意核中的矩阵是$2\times2$矩阵，基向量应线性无关。
步骤 6/6
目标：求值域σV及其一组基
值域为$\{Ax \mid x \in V\}$。计算$Ax$的一般形式：
\[
Ax = \begin{pmatrix} p+2q & r+2s \\ -2(p+2q) & -2(r+2s) \end{pmatrix} = (p+2q)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + (r+2s)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.
\]
故值域由$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$张成，且它们线性无关，所以一组基为$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \right\}$，维数为2。
公式：$Ax$的表达式
提示：注意值域中矩阵的第二行是第一行的$-2$倍，因此只有两个自由参数。
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