广西民族大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
十、（15 分）
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明：
（1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用秩分解将A化为标准形
由于 $\operatorname{rank}(A)=r$，存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P,Q$ 是可逆的，且 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
步骤 2/6
目标：构造可逆矩阵B和幂等矩阵C
令 $B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} Q$，则 $B$ 可逆（因为 $P,Q$ 可逆且中间矩阵可逆）。再令 $C = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，则 $C$ 是幂等矩阵，因为 $C^2 = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = C$。
公式：B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} Q, \quad C = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $B$ 的可逆性：中间矩阵是单位矩阵，所以 $B$ 可逆。$C$ 的幂等性直接验证。
步骤 3/6
目标：验证A=BC
计算 $BC = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} Q \cdot Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = A$。
公式：BC = A
提示：注意矩阵乘法顺序，中间 $Q Q^{-1}=I$ 消去。
步骤 4/6
目标：将幂等矩阵C对角化
由于 $C$ 是幂等矩阵，其秩为 $r$，存在可逆矩阵 $P_1$ 使得 $C = P_1 \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1}$。实际上，由 $C$ 的构造，$P_1 = Q^{-1}$ 即满足，但为了通用性，我们记 $P_1$ 为某个可逆矩阵。
公式：C = P_1 \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1}
提示：幂等矩阵可对角化，且特征值只有0和1，秩等于1的个数。
步骤 5/6
目标：构造列满秩矩阵E和行满秩矩阵F
令 $E = B P_1 \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}$，其中 $\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}$ 是 $n \times r$ 矩阵，则 $E$ 的列向量组线性无关（因为 $B$ 可逆，$P_1$ 可逆，且 $\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}$ 列满秩）。令 $F = \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1}$，其中 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix}$ 是 $r \times n$ 矩阵，则 $F$ 的行向量组线性无关。
公式：E = B P_1 \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1}
提示：注意 $E$ 是 $n \times r$，$F$ 是 $r \times n$，乘积是 $n \times n$。
步骤 6/6
目标：验证A=EF
计算 $EF = B P_1 \begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1} = B P_1 \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P_1^{-1} = B C = A$。
公式：EF = A
提示：注意 $\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
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