广西民族大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）
设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ 时，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用伴随矩阵性质
由伴随矩阵的定义，有 $A A^* = A^* A = |A| I_n$。
公式：$A A^* = |A| I_n$
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，但此处未假设可逆。
步骤 2/7
目标：代入条件
已知 $A^{\mathrm{T}} = A^*$，代入得 $A A^{\mathrm{T}} = |A| I_n$。
公式：$A A^{\mathrm{T}} = |A| I_n$
提示：条件 $A^{\mathrm{T}} = A^*$ 是正交矩阵的类似形式，但此处是实矩阵。
步骤 3/7
目标：两边取行列式
对等式 $A A^{\mathrm{T}} = |A| I_n$ 两边取行列式：$|A A^{\mathrm{T}}| = \big| |A| I_n \big|$。左边 $|A A^{\mathrm{T}}| = |A| \cdot |A^{\mathrm{T}}|$，右边 $\big| |A| I_n \big| = |A|^n$。
公式：$|AB| = |A||B|$, $|kI_n| = k^n$
提示：注意行列式乘法性质，以及数乘行列式的计算。
步骤 4/7
目标：化简等式
由于 $|A^{\mathrm{T}}| = |A|$，代入得 $|A|^2 = |A|^n$，即 $|A|^2 (1 - |A|^{n-2}) = 0$。
公式：$|A^{\mathrm{T}}| = |A|$
提示：移项时注意提取公因式，避免遗漏 $|A|=0$ 的情况。
步骤 5/7
目标：分析可能情况
由 $|A|^2 (1 - |A|^{n-2}) = 0$ 得 $|A| = 0$ 或 $|A|^{n-2} = 1$。
提示：注意 $n$ 可能为2，此时 $|A|^{0}=1$ 恒成立，但需单独讨论。
步骤 6/7
目标：反证法排除零行列式
假设 $|A| = 0$，则 $A A^{\mathrm{T}} = 0$。设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$，则 $A A^{\mathrm{T}}$ 的 $(i,i)$ 元素为 $\alpha_i \alpha_i^{\mathrm{T}} = \|\alpha_i\|^2 = 0$，故每个 $\alpha_i = 0$，从而 $A = 0$，与 $A$ 非零矛盾。因此 $|A| \neq 0$。
公式：$\|\alpha_i\|^2 = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0$
提示：注意实向量的模为零当且仅当向量为零向量。
步骤 7/7
目标：得出结论
综上，$|A| \neq 0$ 得证。
提示：结论成立，无需进一步讨论 $|A|^{n-2}=1$ 的情况。
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