江南大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1、求行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} & \frac{1}{x_{1}} \\
x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} & \frac{1}{x_{2}} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} & \frac{1}{x_{n}}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原行列式转化为便于处理的形式
原行列式 $D_n$ 为：
$$D_n = \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & \frac{1}{x_1} \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & \frac{1}{x_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & \frac{1}{x_n} \end{vmatrix}.$$
将第 $i$ 行乘以 $x_i$（$i=1,\dots,n$），行列式值乘以 $\prod_{i=1}^n x_i$，得到：
$$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right) D_n = \begin{vmatrix} x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n & 1 \\ x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n & 1 \end{vmatrix}.$$
因此，
$$D_n = \frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i} \begin{vmatrix} x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n & 1 \\ x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n & 1 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式行变换性质：某行乘以常数 $k$，行列式值乘以 $k$。
提示：注意每行乘以 $x_i$ 后，行列式整体乘以 $\prod x_i$，而不是每行单独乘后相加。
步骤 2/5
目标：将最后一列移到第一列
将上一步得到的行列式的最后一列（全为1的列）逐列与前一列交换，共交换 $n-1$ 次，每次交换改变符号，因此乘以 $(-1)^{n-1}$。得到：
$$\begin{vmatrix} 1 & x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} \cdot (-1)^{n-1}.$$
所以，
$$D_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\prod_{i=1}^n x_i} \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}.$$
公式：列交换性质：交换两列，行列式变号。
提示：交换次数为 $n-1$，符号为 $(-1)^{n-1}$，注意 $n$ 的奇偶性。
步骤 3/5
目标：提取每行的公因子
观察行列式：
$$\begin{vmatrix} 1 & x_1^2 & x_1^3 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2^2 & x_2^3 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n^2 & x_n^3 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}.$$
第 $i$ 行中，从第2列到第 $n$ 列都有因子 $x_i$，因此每行可提取 $x_i$，共提取 $\prod_{i=1}^n x_i$。提取后，第 $j$ 列（$j=2,\dots,n$）变为 $x_i^{j-1}$。得到：
$$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$
公式：行列式行提取公因子：某行所有元素有公因子 $k$，可提取 $k$ 到行列式外。
提示：注意每行提取的因子不同，但都是 $x_i$，因此整体提取 $\prod x_i$。
步骤 4/5
目标：代入并化简
将上一步结果代入 $D_n$ 表达式：
$$D_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\prod_{i=1}^n x_i} \cdot \left(\prod_{i=1}^n x_i\right) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = (-1)^{n-1} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}.$$
注意 $\prod_{i=1}^n x_i$ 被约去。
提示：注意约分时确保 $x_i \neq 0$，否则原行列式无定义。
步骤 5/5
目标：识别范德蒙德行列式并求值
最后一个行列式是标准的范德蒙德行列式，其值为：
$$\prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$
因此，
$$D_n = (-1)^{n-1} \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$
公式：范德蒙德行列式公式：$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i)$。
提示：注意连乘符号中 $i
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