江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．当 $t=$ $\_\_\_\_$时，$f(x)=x^{2}+t x$ 与 $g(x)=x^{2}+4 x+t$ 有公共根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设公共根并列出方程
设公共根为 $\alpha$，则 $\alpha$ 同时满足 $f(\alpha)=0$ 和 $g(\alpha)=0$，即：
$$\alpha^2 + t\alpha = 0 \quad \text{(1)}$$
$$\alpha^2 + 4\alpha + t = 0 \quad \text{(2)}$$
提示：注意公共根是同时满足两个方程的数，不要遗漏任何一个方程。
步骤 2/7
目标：两式相减消去二次项
将方程(1)减去方程(2)得：
$$(\alpha^2 + t\alpha) - (\alpha^2 + 4\alpha + t) = 0 - 0$$
化简得：
$$t\alpha - 4\alpha - t = 0$$
即：
$$(t-4)\alpha - t = 0$$
所以：
$$(t-4)\alpha = t$$
提示：相减时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：分类讨论t是否等于4
若 $t \neq 4$，则 $\alpha = \frac{t}{t-4}$。
若 $t = 4$，则方程变为 $0 \cdot \alpha = 4$，无解，此时两方程无公共根。
提示：不要忘记讨论分母为零的情况，这是常见的易错点。
步骤 4/7
目标：将α表达式代入第一个方程
当 $t \neq 4$ 时，将 $\alpha = \frac{t}{t-4}$ 代入方程(1)：
$$\left(\frac{t}{t-4}\right)^2 + t \cdot \frac{t}{t-4} = 0$$
即：
$$\frac{t^2}{(t-4)^2} + \frac{t^2}{t-4} = 0$$
提示：代入时注意代数式的准确性，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：化简方程求解t
通分得：
$$\frac{t^2 + t^2(t-4)}{(t-4)^2} = 0$$
分子化简：
$$t^2 + t^2(t-4) = t^2(1 + t - 4) = t^2(t-3)$$
所以：
$$\frac{t^2(t-3)}{(t-4)^2} = 0$$
分子为零得：$t^2(t-3)=0$，解得 $t=0$ 或 $t=3$。
提示：注意分母不能为零，但此处 $t \neq 4$ 已保证分母非零，只需分子为零。
步骤 6/7
目标：验证t=4的情况
当 $t=4$ 时，$f(x)=x^2+4x$，$g(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2$。$g(x)$ 的根为 $x=-2$，代入 $f(-2)=4-8=-4 \neq 0$，所以无公共根。
提示：验证是必要的，避免遗漏或错误。
步骤 7/7
目标：总结答案
因此，当 $t=0$ 或 $t=3$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 有公共根。
提示：最终答案要明确写出所有满足条件的t值。
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