江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确基与线性变换
给定基 $E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, $E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$, $E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。线性变换 $\sigma(X)=AX$，其中 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$。
公式：σ(X)=AX
提示：注意基矩阵的排列顺序，通常按行优先顺序：E11, E12, E21, E22。
步骤 2/6
目标：计算σ(E11)并表示为基的线性组合
计算 $\sigma(E_{11})=A E_{11}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\3&0\end{pmatrix}=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+3\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法顺序：左乘A。
步骤 3/6
目标：计算σ(E12)并表示为基的线性组合
计算 $\sigma(E_{12})=A E_{12}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&3\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+3\cdot E_{22}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意结果矩阵中非零元素的位置。
步骤 4/6
目标：计算σ(E21)并表示为基的线性组合
计算 $\sigma(E_{21})=A E_{21}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\4&0\end{pmatrix}=2\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+4\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意E21右乘A时，A的第二列乘以E21的第一行。
步骤 5/6
目标：计算σ(E22)并表示为基的线性组合
计算 $\sigma(E_{22})=A E_{22}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+2\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+4\cdot E_{22}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意E22右乘A，结果矩阵的第二列来自A的第二列。
步骤 6/6
目标：构造变换矩阵
将每个像的坐标按列排列成矩阵：第一列是σ(E11)的坐标(1,0,3,0)^T，第二列是σ(E12)的坐标(0,1,0,3)^T，第三列是σ(E21)的坐标(2,0,4,0)^T，第四列是σ(E22)的坐标(0,2,0,4)^T。因此变换矩阵为：
$$\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&0&2\\3&0&4&0\\0&3&0&4\end{pmatrix}$$
公式：线性变换在基下的矩阵定义
提示：注意坐标顺序与基的顺序一致，且矩阵的列对应基向量的像的坐标。
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