江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．已知 $a, b$ 是数域 $P$ 上的两个固定的数，而
$$
W=\left\{\left(a, b, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P, i=3,4, \cdots, n\right\}
$$
是 $P$ 的子空间，则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解集合W的定义
已知 $W = \{ (a, b, x_3, \dots, x_n) \mid x_i \in P, i=3,4,\dots,n \}$，其中 $a, b$ 是数域 $P$ 上的固定数。这意味着 $W$ 中的每个向量前两个分量固定为 $a$ 和 $b$，后 $n-2$ 个分量可以取 $P$ 中的任意值。
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是固定的常数，不是自由变量。
步骤 2/5
目标：判断W是否为子空间
由于 $W$ 是 $P^n$ 的子集，且对加法和数乘封闭（因为后 $n-2$ 个分量任意，前两个分量固定，加法和数乘后前两个分量仍为 $a$ 和 $b$ 的线性组合，但注意 $a$ 和 $b$ 固定，实际上 $W$ 不是子空间，除非 $a=b=0$。但题目中已说明 $W$ 是子空间，因此隐含 $a=b=0$。实际上，若 $a$ 或 $b$ 非零，则 $W$ 不包含零向量，故不是子空间。所以题目条件隐含 $a=b=0$。
提示：子空间必须包含零向量，因此 $a$ 和 $b$ 必须为0。
步骤 3/5
目标：确定自由变量的个数
在 $W$ 中，向量形式为 $(0,0,x_3,\dots,x_n)$，其中 $x_3,\dots,x_n$ 可以独立地取 $P$ 中的任意值。因此自由变量的个数为 $n-2$。
提示：自由变量是指可以任意取值的分量，这里前两个分量固定为0，不是自由变量。
步骤 4/5
目标：构造基向量
取 $e_3 = (0,0,1,0,\dots,0)$，$e_4 = (0,0,0,1,\dots,0)$，$\dots$，$e_n = (0,0,0,\dots,0,1)$。这些向量线性无关，且 $W$ 中任意向量可表示为 $x_3 e_3 + x_4 e_4 + \dots + x_n e_n$，因此它们构成 $W$ 的一组基。
提示：基向量必须属于 $W$，且线性无关，能生成 $W$。
步骤 5/5
目标：计算维数
基向量的个数即为 $W$ 的维数。这里共有 $n-2$ 个基向量，所以 $\dim W = n-2$。
公式：\dim W = n-2
提示：维数等于基中向量的个数，即自由变量的个数。
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