江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．若实对称矩阵 $A$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 合同，则二次型 $X^{T} A X$ 的规范形为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵B并求其特征多项式
给定矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，计算特征多项式 $\det(\lambda I - B)$。
公式：$\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix}$
提示：注意行列式的计算：按第一行展开，或利用分块矩阵性质。
步骤 2/6
目标：计算特征多项式并求特征值
按第一行展开：$\lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = \lambda[ (\lambda-2)^2 - 1 ] = \lambda(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-3)$。令其为零，得特征值 $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 3$。
公式：$\det(\lambda I - B) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-3)$
提示：注意因式分解的正确性，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：确定矩阵B的正负惯性指数
特征值中正数有1和3，共2个；负数0个；零特征值1个。因此正惯性指数 $p = 2$，负惯性指数 $q = 0$，秩 $r = p+q = 2$。
公式：惯性指数：正特征值个数为正惯性指数，负特征值个数为负惯性指数。
提示：注意零特征值不计入正负惯性指数。
步骤 4/6
目标：应用惯性定理：合同矩阵有相同惯性指数
由于 $A$ 与 $B$ 合同，根据惯性定理，$A$ 的正惯性指数等于 $B$ 的正惯性指数，即 $p_A = 2$，$q_A = 0$。
公式：惯性定理：实对称矩阵合同当且仅当有相同的正负惯性指数。
提示：合同关系保持惯性指数，但注意不保持特征值本身。
步骤 5/6
目标：写出二次型 $X^T A X$ 的规范形
规范形由正负惯性指数决定：正平方项个数为 $p$，负平方项个数为 $q$。这里 $p=2, q=0$，所以规范形为 $y_1^2 + y_2^2$。
公式：规范形：$y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2$
提示：注意规范形中只有平方项，系数为1或-1，且按正负顺序排列。
步骤 6/6
目标：确认最终答案
因此，二次型 $X^T A X$ 的规范形为 $y_1^2 + y_2^2$。
提示：答案应写为 $y_1^2+y_2^2$，注意变量符号。
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