江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．线性方程组 $x_{1}=2 x_{2}=\cdots=n x_{n}$ 的一个基础解系为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解方程组形式
题目给出线性方程组 $x_1 = 2x_2 = \cdots = n x_n$。这意味着所有比值相等，即存在一个公共值 $t$ 使得 $x_1 = t$, $2x_2 = t$, $\ldots$, $n x_n = t$。
提示：注意等式是连等，不是独立的方程。
步骤 2/6
目标：引入公共参数
设公共值为 $t$，则得到 $x_1 = t$, $x_2 = \frac{t}{2}$, $\ldots$, $x_n = \frac{t}{n}$。因此解向量为 $\left( t, \frac{t}{2}, \ldots, \frac{t}{n} \right)^T$。
提示：参数 $t$ 是自由变量，可以取任意实数。
步骤 3/6
目标：写出通解形式
通解为 $\mathbf{x} = t \left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}\right)^T$，其中 $t \in \mathbb{R}$。这是一个一维解空间。
提示：注意向量是列向量。
步骤 4/6
目标：确定基础解系
基础解系是解空间的一组基。由于解空间维数为1，基础解系包含一个非零向量。取 $t=1$ 得到向量 $\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}\right)^T$ 作为基础解系。
提示：基础解系中的向量必须线性无关且能生成所有解。
步骤 5/6
目标：验证解的正确性
将 $\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}\right)^T$ 代入原方程组：$x_1 = 1$, $2x_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, $\ldots$, $n x_n = n \cdot \frac{1}{n} = 1$，满足 $x_1 = 2x_2 = \cdots = n x_n = 1$。
提示：验证时注意每个等式都等于同一个值。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，一个基础解系为 $\left\{ \left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}\right)^T \right\}$。
提示：答案应写为集合形式，包含一个向量。
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