江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $\alpha=(0,1,-1,0), A=\alpha^{T} \alpha$ ，其中 $\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，则 $A^{3}$ 的迹为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造矩阵 A
已知 $\alpha = (0,1,-1,0)$，则 $\alpha^T$ 是列向量，$\alpha$ 是行向量。计算 $A = \alpha^T \alpha$：
$$A = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：$A = \alpha^T \alpha$
提示：注意 $\alpha^T \alpha$ 是外积，得到的是矩阵，而不是内积。
步骤 2/6
目标：计算内积 $\alpha \alpha^T$
计算 $\alpha \alpha^T$：
$$\alpha \alpha^T = (0,1,-1,0) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2.$$
公式：$\alpha \alpha^T = \|\alpha\|^2$
提示：内积是一个标量，注意计算时不要遗漏平方项。
步骤 3/6
目标：计算 $A^2$
利用结合律：$A^2 = (\alpha^T \alpha)(\alpha^T \alpha) = \alpha^T (\alpha \alpha^T) \alpha = \alpha^T \cdot 2 \cdot \alpha = 2 \alpha^T \alpha = 2A$。
公式：$A^2 = (\alpha^T \alpha)^2 = \alpha^T (\alpha \alpha^T) \alpha$
提示：注意 $\alpha \alpha^T$ 是标量，可以提到前面。
步骤 4/6
目标：计算 $A^3$
由 $A^2 = 2A$，得 $A^3 = A^2 A = (2A)A = 2A^2 = 2(2A) = 4A$。
公式：$A^3 = 4A$
提示：递推计算时注意系数。
步骤 5/6
目标：计算 $A$ 的迹
矩阵 $A$ 的对角线元素为 $0, 1, 1, 0$，所以 $\operatorname{tr}(A) = 0+1+1+0 = 2$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum a_{ii}$
提示：迹只取对角线元素之和。
步骤 6/6
目标：计算 $A^3$ 的迹
由于 $A^3 = 4A$，所以 $\operatorname{tr}(A^3) = 4 \operatorname{tr}(A) = 4 \times 2 = 8$。
公式：$\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}(A)$
提示：迹是线性算子。
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