江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
7．设三阶矩阵 $A$ 满足 $|E-A|=|2 E-A|=0$ ，且 $E+A$ 不可逆，则 $\left|E+A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定特征值
由 $|E-A|=0$ 知 $\lambda=1$ 是 $A$ 的特征值；由 $|2E-A|=0$ 知 $\lambda=2$ 是 $A$ 的特征值；由 $E+A$ 不可逆得 $|E+A|=0$，故 $\lambda=-1$ 是 $A$ 的特征值。因为 $A$ 是三阶矩阵，所以三个特征值分别为 $1,2,-1$。
公式：$|\lambda E - A|=0$ 给出特征值
提示：注意 $E+A$ 不可逆等价于 $|E+A|=0$，即 $-1$ 是特征值。
步骤 2/4
目标：计算 $A^2$ 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值。因此 $A^2$ 的特征值为 $1^2=1$，$2^2=4$，$(-1)^2=1$。
公式：$A^2$ 的特征值为 $\lambda^2$
提示：注意特征值平方时，重根要保留。
步骤 3/4
目标：计算 $E+A^2$ 的特征值
若 $\mu$ 是 $A^2$ 的特征值，则 $1+\mu$ 是 $E+A^2$ 的特征值。因此 $E+A^2$ 的特征值为 $1+1=2$，$1+4=5$，$1+1=2$。
公式：$E+A^2$ 的特征值为 $1+\mu$
提示：注意单位矩阵 $E$ 的特征值全为1。
步骤 4/4
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。所以 $|E+A^2| = 2 \times 5 \times 2 = 20$。
公式：$|B| = \prod \lambda_i$
提示：注意特征值要全部乘起来，包括重根。
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