江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解最小多项式
已知最小多项式为 $\lambda^{2}(\lambda^{2}-9)$，将其因式分解：$\lambda^{2}(\lambda^{2}-9) = \lambda^{2}(\lambda-3)(\lambda+3)$。
提示：注意 $\lambda^2-9$ 可分解为 $(\lambda-3)(\lambda+3)$，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：确定特征值及其代数重数
由于矩阵是四阶，且最小多项式包含因子 $\lambda^2$、$(\lambda-3)$、$(\lambda+3)$，因此特征值为 $0$、$3$、$-3$。特征值 $0$ 的代数重数至少为2，但总阶数为4，且 $3$ 和 $-3$ 各至少出现一次，所以 $0$ 的代数重数为2，$3$ 和 $-3$ 的代数重数各为1。
提示：代数重数之和等于矩阵阶数4，且每个特征值至少出现一次。
步骤 3/5
目标：分析特征值0的若尔当块结构
最小多项式中 $\lambda$ 的指数为2，说明特征值 $0$ 的若尔当块中最大阶数为2。由于代数重数为2，只能由一个2阶若尔当块组成，即 $J_2(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：若尔当块 $J_k(\lambda)$ 是 $k\times k$ 矩阵，主对角线为 $\lambda$，次对角线为1。
提示：若代数重数大于最大阶数，则可能有多个若尔当块，但这里代数重数等于最大阶数，所以只有一个块。
步骤 4/5
目标：分析特征值3和-3的若尔当块结构
最小多项式中因子 $(\lambda-3)$ 和 $(\lambda+3)$ 都是一次，说明特征值 $3$ 和 $-3$ 的若尔当块最大阶数为1，即都是一阶若尔当块：$J_1(3)=[3]$，$J_1(-3)=[-3]$。
提示：一次因子对应一阶若尔当块，即对角元。
步骤 5/5
目标：组合若尔当标准形
将上述若尔当块按顺序排列，得到四阶若尔当标准形：
$$
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{pmatrix}
$$
或记为 $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(3), J_1(-3))$。
提示：若尔当块的顺序可以调换，但通常按特征值分组。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。