江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七．（20 分）设 $P$ 是数域，$\displaystyle V_{1}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶上三角矩阵的全体，$\displaystyle V_{2}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶反对称矩阵的全体．
（1）证明：$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的子空间，并分别求 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数；
（2）证明：$\displaystyle P^{n \times n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明 V1 是子空间
首先，$V_1$ 是 $P^{n\times n}$ 的子集。对于任意 $A,B\in V_1$，$A+B$ 的上三角部分仍为零（因为 $i>j$ 时 $a_{ij}=b_{ij}=0$），故 $A+B\in V_1$。对于任意 $k\in P$，$kA$ 在 $i>j$ 时也为零，故 $kA\in V_1$。零矩阵显然属于 $V_1$。因此 $V_1$ 是子空间。
提示：注意验证封闭性时需同时考虑加法和数乘，且零元素存在。
步骤 2/7
目标：求 V1 的一组基和维数
$V_1$ 中矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足 $a_{ij}=0$ 当 $i>j$。标准基为矩阵 $E_{ij}$（$i\le j$），其中 $E_{ij}$ 在第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1，其余为0。共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个这样的矩阵，它们线性无关且生成 $V_1$，故维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。
公式：维数 = $\frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意上三角矩阵包括对角元，因此个数为 $n+(n-1)+\cdots+1$。
步骤 3/7
目标：证明 V2 是子空间
$V_2$ 是 $P^{n\times n}$ 的子集。对于任意 $A,B\in V_2$，$(A+B)^T = A^T+B^T = -A-B = -(A+B)$，故 $A+B\in V_2$。对于任意 $k\in P$，$(kA)^T = kA^T = -kA$，故 $kA\in V_2$。零矩阵显然反对称。因此 $V_2$ 是子空间。
提示：反对称矩阵满足 $A^T=-A$，对角元必为零。
步骤 4/7
目标：求 V2 的一组基和维数
$V_2$ 中矩阵 $B=(b_{ij})$ 满足 $b_{ij}=-b_{ji}$ 且 $b_{ii}=0$。标准基为矩阵 $F_{ij}=E_{ij}-E_{ji}$（$i
公式：维数 = $\frac{n(n-1)}{2}$
提示：注意 $i
步骤 5/7
目标：证明 V1 ∩ V2 = {0}
设 $A\in V_1\cap V_2$，则 $A$ 既是上三角又是反对称。由反对称知 $a_{ii}=0$；对于 $ii$，$a_{ji}$ 是下三角元素，在上三角矩阵中为0），所以 $a_{ij}=0$。故 $A=0$。
提示：注意上三角矩阵的下三角元素全为零，反对称矩阵的对称元素互为相反数。
步骤 6/7
目标：证明 P^{n×n} = V1 + V2
对任意 $M=(m_{ij})\in P^{n\times n}$，构造 $A=(a_{ij})\in V_1$ 和 $B=(b_{ij})\in V_2$ 如下：
- 对于 $i>j$，令 $b_{ij}=m_{ij}$；对于 $ij$，令 $a_{ij}=0$。
则 $A$ 是上三角，$B$ 是反对称，且 $M=A+B$。因此任意矩阵可分解为 $V_1$ 和 $V_2$ 中元素之和。
公式：$M = A + B$，其中 $A$ 上三角，$B$ 反对称
提示：验证 $B$ 的反对称性：当 $i
步骤 7/7
目标：总结直和结论
由 $V_1\cap V_2=\{0\}$ 和 $P^{n\times n}=V_1+V_2$，根据直和的定义，$P^{n\times n}=V_1\oplus V_2$。
提示：直和需要满足交为零且和等于全空间。
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