江西师范大学 2024年高等代数第0题

设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\alpha$ 是 $\sigma$ 的特征向量，则存在特征值 $\lambda$ 使得 $\sigma(\alpha)=\lambda\alpha$。子空间 $L(\alpha)=\{k\alpha\mid k\in F\}$（$F$ 为数域）。对任意 $\beta\in L(\alpha)$，存在 $k\in F$ 使得 $\beta=k\alpha$，则 $\sigma(\beta)=\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)=k\lambda\alpha=(k\lambda)\alpha\in L(\alpha)$。因此 $L(\alpha)$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。

取 $V$ 中任一非零向量 $\alpha$，考虑序列 $\alpha, \sigma(\alpha), \sigma^2(\alpha), \dots$。由于 $V$ 是 $n$ 维的，存在最小正整数 $m$ 使得 $\alpha, \sigma(\alpha), \dots, \sigma^{m-1}(\alpha)$ 线性无关，而 $\sigma^m(\alpha)$ 可由它们线性表示，即存在 $a_0, a_1, \dots, a_{m-1}\in\mathbb{R}$ 使得 $\sigma^m(\alpha)=a_0\alpha+a_1\sigma(\alpha)+\cdots+a_{m-1}\sigma^{m-1}(\alpha)$。

定义多项式 $f(x)=x^m-a_{m-1}x^{m-1}-\cdots-a_1x-a_0$，则 $f(\sigma)(\alpha)=0$。在实数域上，$f(x)$ 可分解为一次因式和二次不可约因式的乘积。

若 $f(x)$ 有实根 $\lambda$，则存在一次因式 $x-\lambda$ 整除 $f(x)$，即 $f(x)=(x-\lambda)g(x)$。于是 $(\sigma-\lambda I)(g(\sigma)(\alpha))=0$。令 $\beta=g(\sigma)(\alpha)$，则 $\sigma(\beta)=\lambda\beta$。若 $\beta\neq0$，则 $\beta$ 是特征向量，$L(\beta)$ 是一维不变子空间。若 $\beta=0$，则 $g(\sigma)(\alpha)=0$，而 $g(x)$ 的次数小于 $m$，与 $m$ 的最小性矛盾。因此必存在一维不变子空间。

若 $f(x)$ 无实根，则 $f(x)$ 有一个二次不可约因式 $x^2+px+q$（$p^2-4q<0$），即存在多项式 $h(x)$ 使得 $f(x)=(x^2+px+q)h(x)$。令 $\gamma=h(\sigma)(\alpha)$，则 $(\sigma^2+p\sigma+qI)(\gamma)=0$。若 $\gamma=0$，则 $h(\sigma)(\alpha)=0$，与 $m$ 的最小性矛盾。故 $\gamma\neq0$，且 $\sigma^2(\gamma)=-p\sigma(\gamma)-q\gamma$。考虑子空间 $W=L(\gamma,\sigma(\gamma))$，它是二维的（因为若 $\gamma$ 与 $\sigma(\gamma)$ 线性相关，则 $\sigma(\gamma)=\mu\gamma$，代入得 $\mu^2\gamma=-p\mu\gamma-q\gamma$，即 $(\mu^2+p\mu+q)\gamma=0$，由于 $\gamma\neq0$，有 $\mu^2+p\mu+q=0$，但 $\mu$ 是实数，而判别式 $p^2-4q<0$，矛盾）。且对任意 $a\gamma+b\sigma(\gamma)\in W$，有 $\sigma(a\gamma+b\sigma(\gamma))=a\sigma(\gamma)+b\sigma^2(\gamma)=a\sigma(\gamma)+b(-p\sigma(\gamma)-q\gamma)=-bq\gamma+(a-bp)\sigma(\gamma)\in W$，故 $W$ 是二维不变子空间。

综上，实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\sigma$ 必有一维或二维不变子空间。