江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变换并计算g(x)
令 $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$，其中 $p$ 是素数。考虑多项式 $g(x)=f(x+1)$。利用等比数列求和公式，$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}$，因此 $g(x)=f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}$。
公式：$f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}$
提示：注意 $x=1$ 是 $f(x)$ 的不可去奇点，但变换后分母为 $x$，需确保 $x\neq 0$。
步骤 2/5
目标：展开二项式并化简g(x)
由二项式定理，$(x+1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} x^k$，所以 $(x+1)^p-1 = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^k$。于是 $g(x)=\frac{1}{x}\sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^k = \sum_{k=1}^p \binom{p}{k} x^{k-1} = \sum_{i=0}^{p-1} \binom{p}{i+1} x^i$。即 $g(x)=x^{p-1}+\binom{p}{1}x^{p-2}+\binom{p}{2}x^{p-3}+\cdots+\binom{p}{p-2}x+\binom{p}{p-1}$。
公式：$(x+1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} x^k$
提示：注意求和指标变换：$i=k-1$，从0到$p-1$。
步骤 3/5
目标：验证艾森斯坦判别法的条件
对于素数 $p$，组合数 $\binom{p}{k}$ 当 $1\le k\le p-1$ 时能被 $p$ 整除，因为 $\binom{p}{k}=\frac{p}{k}\binom{p-1}{k-1}$，分子有因子 $p$ 而分母不含 $p$。常数项 $\binom{p}{p-1}=p$ 不能被 $p^2$ 整除。因此 $g(x)$ 是首一多项式，且所有非首项系数（除最高次项外）都能被 $p$ 整除，常数项能被 $p$ 整除但不能被 $p^2$ 整除，满足艾森斯坦判别法条件。
公式：$\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}$ 对于 $1\le k\le p-1$
提示：注意检查常数项是否满足 $p^2 \nmid a_0$，这里 $a_0=p$，$p^2$ 不整除 $p$。
步骤 4/5
目标：应用艾森斯坦判别法
由艾森斯坦判别法，取素数 $p$，则 $g(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：艾森斯坦判别法要求多项式是整系数且首一，这里 $g(x)$ 满足。
步骤 5/5
目标：通过线性变换回到f(x)
由于 $f(x)=g(x-1)$，且线性变换 $x\mapsto x-1$ 保持可约性（即若 $f(x)$ 可约则 $g(x)$ 也可约，反之亦然），因此 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
公式：$f(x)=g(x-1)$
提示：注意：线性变换 $x\mapsto x+c$ 不改变多项式的可约性，因为若 $f(x)=h(x)k(x)$，则 $f(x+c)=h(x+c)k(x+c)$。
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