江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：因式分解多项式
将多项式 $f(x)=x^3+7x^2+14x+8$ 因式分解。通过试根法，发现 $x=-1$ 是根，做多项式除法得 $f(x)=(x+1)(x^2+6x+8)=(x+1)(x+2)(x+4)$。
公式：$x^3+7x^2+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4)$
提示：注意检查因式分解是否正确，可展开验证。
步骤 2/7
目标：确定特征值可能取值
由于 $A$ 满足 $f(A)=0$，且 $f(x)$ 无重根，$A$ 的最小多项式无重根，故 $A$ 可对角化。又 $A$ 是实对称矩阵，特征值均为实数，且只能是 $f(x)=0$ 的根，即 $-1, -2, -4$。
提示：注意实对称矩阵的特征值必为实数，且零化多项式的根包含所有特征值。
步骤 3/7
目标：判断矩阵可逆性
因为 $A$ 的特征值只有 $-1,-2,-4$，均不为零，所以 $A$ 可逆。
提示：特征值全非零是矩阵可逆的充要条件。
步骤 4/7
目标：计算行列式的符号
设 $A$ 的阶数为 $2n$（偶数），特征值均为负数，且个数为偶数，故行列式 $|A| = \prod_{i=1}^{2n} \lambda_i > 0$。
公式：$|A| = \prod \lambda_i$
提示：偶数个负数相乘得正数，注意阶数为偶数这一条件。
步骤 5/7
目标：表达伴随矩阵
对于可逆矩阵 $A$，伴随矩阵 $A^* = |A| A^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：此公式仅对可逆矩阵成立，需先确认可逆。
步骤 6/7
目标：分析伴随矩阵的特征值
$A^{-1}$ 的特征值是 $A$ 特征值的倒数，即 $-1, -1/2, -1/4$（可能重复）。因此 $A^*$ 的特征值为 $|A|$ 乘以这些倒数，由于 $|A|>0$，每个特征值均为负数。
公式：$\lambda_{A^*} = |A| \cdot \frac{1}{\lambda_A}$
提示：注意 $|A|$ 是正数，乘以负数仍为负数。
步骤 7/7
目标：判断负定性
实对称矩阵 $A^*$ 的所有特征值均为负数，故 $A^*$ 为负定矩阵。
提示：实对称矩阵负定的充要条件是所有特征值小于零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。