江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ；
（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造循环向量组
由于 $\sigma^n = 0$ 且 $\sigma^{n-1} \neq 0$，存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $\sigma^{n-1}(\alpha) \neq 0$。考虑向量组 $\alpha, \sigma(\alpha), \sigma^2(\alpha), \dots, \sigma^{n-1}(\alpha)$。
提示：注意 $\sigma^{n-1}(\alpha) \neq 0$ 是构造的关键，确保向量组非退化。
步骤 2/7
目标：证明向量组线性无关
设 $k_0 \alpha + k_1 \sigma(\alpha) + \cdots + k_{n-1} \sigma^{n-1}(\alpha) = 0$。用 $\sigma^{n-1}$ 作用，得 $k_0 \sigma^{n-1}(\alpha)=0$，因 $\sigma^{n-1}(\alpha) \neq 0$，故 $k_0=0$。再用 $\sigma^{n-2}$ 作用，得 $k_1 \sigma^{n-1}(\alpha)=0$，故 $k_1=0$。依次类推，得所有 $k_i=0$。因此向量组线性无关，构成 $V$ 的一组基。
公式：$\sigma^{n-1}(\alpha) \neq 0$
提示：注意每次作用后，高阶项消失，只留下当前系数项。
步骤 3/7
目标：计算线性变换在基下的矩阵
在这组基下，计算 $\sigma$ 的作用：
$\sigma(\alpha) = 0\cdot\alpha + 1\cdot\sigma(\alpha) + 0\cdot\sigma^2(\alpha) + \cdots + 0\cdot\sigma^{n-1}(\alpha)$，
$\sigma(\sigma(\alpha)) = \sigma^2(\alpha) = 0\cdot\alpha + 0\cdot\sigma(\alpha) + 1\cdot\sigma^2(\alpha) + \cdots + 0\cdot\sigma^{n-1}(\alpha)$，
$\vdots$
$\sigma(\sigma^{n-2}(\alpha)) = \sigma^{n-1}(\alpha) = 0\cdot\alpha + \cdots + 1\cdot\sigma^{n-1}(\alpha)$，
$\sigma(\sigma^{n-1}(\alpha)) = \sigma^n(\alpha) = 0$。
因此矩阵为 Jordan 块 $J$。
公式：$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意基的排列顺序：$\alpha, \sigma(\alpha), \dots, \sigma^{n-1}(\alpha)$。
步骤 4/7
目标：证明（1）完成
已找到一组基，使得 $\sigma$ 的矩阵为 Jordan 块 $J$。
步骤 5/7
目标：反证法假设可对角化
假设 $\sigma$ 在某组基下的矩阵为对角形 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
提示：注意对角化意味着存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为对角阵。
步骤 6/7
目标：利用幂零性推出矛盾
由于 $\sigma^n=0$，有 $\lambda_i^n=0$，故 $\lambda_i=0$，即 $\sigma$ 是零变换。但已知 $\sigma^{n-1} \neq 0$，矛盾。因此假设不成立，$\sigma$ 不可对角化。
公式：$\lambda_i^n=0 \Rightarrow \lambda_i=0$
提示：注意数域 $P$ 的特征：在特征为 $p$ 的域中，$\lambda_i^n=0$ 仍推出 $\lambda_i=0$，因为域无零因子。
步骤 7/7
目标：证明（2）完成
因此 $\sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形。
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