江西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．（20 分）（1）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times r$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle r \times s$ 矩阵且 $B$ 的秩为 $r$ ．证明：若 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ ．
（2）若 $\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle 3 \times 2$ 矩阵和 $\displaystyle 2 \times 3$ 的实矩阵且 $\displaystyle A B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．证明：$\displaystyle B A=4 E$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明A=0（利用右逆）
因为$B$的秩为$r$，且$B$是$r \times s$矩阵，所以$B$行满秩，存在右逆，即存在$r \times s$矩阵$C$使得$BC = I_r$。由$AB=0$，两边右乘$C$得$ABC = 0$，即$A I_r = 0$，所以$A=0$。
公式：BC = I_r
提示：注意$B$行满秩时才有右逆，且$C$的尺寸为$s \times r$。
步骤 2/6
目标：计算AB的秩
已知$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。计算其行列式：$\det(AB)=0$，但左上角$2\times2$子式$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}=8 \neq 0$，所以$\operatorname{rank}(AB)=2$。
提示：秩为2说明矩阵不是满秩的，但存在2阶非零子式。
步骤 3/6
目标：推导A和B的秩
由$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B) \leq 2$，且$\operatorname{rank}(AB)=2$，得$\operatorname{rank}(B)=2$。同理$\operatorname{rank}(A)=2$。因此$A$列满秩，$B$行满秩。
公式：rank(AB) ≤ rank(B) ≤ 2
提示：注意矩阵乘法秩的不等式。
步骤 4/6
目标：验证AB满足平方关系
计算$(AB)^2$：$(AB)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 16 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 4AB$。所以$(AB)^2 = 4AB$。
公式：(AB)^2 = 4AB
提示：直接矩阵乘法计算，注意结果。
步骤 5/6
目标：推导BA的平方关系
由$(AB)^2 = 4AB$，左乘$A$，右乘$B$得：$A(BA)^2B = 4A(BA)B$。因为$A$列满秩，$B$行满秩，可以消去$A$和$B$（左乘$A$的广义逆，右乘$B$的广义逆），得到$(BA)^2 = 4BA$。
公式：A(BA)^2B = 4A(BA)B ⇒ (BA)^2 = 4BA
提示：消去时需注意$A$和$B$的秩条件，确保可消去。
步骤 6/6
目标：证明BA可逆并求值
由于$\operatorname{rank}(BA) = \operatorname{rank}(AB) = 2$，而$BA$是$2\times2$矩阵，所以$BA$满秩，即可逆。由$(BA)^2 = 4BA$，两边左乘$(BA)^{-1}$得$BA = 4I_2$，即$BA = 4E$。
公式：BA = 4I_2
提示：注意秩相等条件：rank(BA)=rank(AB)。
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