浙江大学 2026年高等代数第0题

设 $x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$，则 $x^2 = 8 + 2\sqrt{15}$，于是 $(x^2 - 8)^2 = 60$，展开得 $x^4 - 16x^2 + 64 = 60$，即 $x^4 - 16x^2 + 4 = 0$。因此 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ 的极小多项式为 $m(\lambda) = \lambda^4 - 16\lambda^2 + 4$。

由于 $A$ 是4阶整数矩阵，其特征多项式 $f(\lambda)$ 是4次整系数多项式，且以 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ 为根。因为极小多项式 $m(\lambda)$ 是4次，且 $f(\lambda)$ 被 $m(\lambda)$ 整除，而 $\deg f = 4$，所以 $f(\lambda) = m(\lambda) = \lambda^4 - 16\lambda^2 + 4$。

有理标准型由特征多项式的友矩阵给出：$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。

解方程 $\lambda^4 - 16\lambda^2 + 4 = 0$，令 $t = \lambda^2$，得 $t^2 - 16t + 4 = 0$，解得 $t = 8 \pm 2\sqrt{15}$，所以 $\lambda = \pm \sqrt{8 \pm 2\sqrt{15}}$。注意 $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$，$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$。因此四个特征值为 $\sqrt{5}+\sqrt{3},\ \sqrt{5}-\sqrt{3},\ -\sqrt{5}+\sqrt{3},\ -\sqrt{5}-\sqrt{3}$，互异，故Jordan标准型为对角矩阵 $\operatorname{diag}(\sqrt{5}+\sqrt{3},\ \sqrt{5}-\sqrt{3},\ -\sqrt{5}+\sqrt{3},\ -\sqrt{5}-\sqrt{3})$。

特征值乘积：$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(-\sqrt{5}+\sqrt{3})(-\sqrt{5}-\sqrt{3}) = [(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2] \cdot [(-\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2] = (5-3)(5-3) = 4$。所以 $\det A = 4$。

伴随矩阵 $A^*$ 的特征值为 $\frac{\det A}{\lambda_i} = \frac{4}{\lambda_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。

行列式等于特征值乘积：$|2\sqrt{5}E - A^*| = \prod_{i=1}^4 \left(2\sqrt{5} - \frac{4}{\lambda_i}\right) = \frac{1}{\prod \lambda_i} \prod (2\sqrt{5}\lambda_i - 4) = \frac{1}{4} \prod (2\sqrt{5}\lambda_i - 4)$。令 $\mu_i = 2\sqrt{5}\lambda_i - 4$，则 $\lambda_i = \frac{\mu_i+4}{2\sqrt{5}}$。代入特征多项式 $\lambda^4 - 16\lambda^2 + 4 = 0$，得 $\left(\frac{\mu+4}{2\sqrt{5}}\right)^4 - 16\left(\frac{\mu+4}{2\sqrt{5}}\right)^2 + 4 = 0$。乘以 $(2\sqrt{5})^4 = 400$，得 $(\mu+4)^4 - 320(\mu+4)^2 + 1600 = 0$。展开得 $\mu^4 + 16\mu^3 - 224\mu^2 - 2304\mu - 3264 = 0$。根之积为常数项除以首项系数再乘以 $(-1)^4$，即 $\prod \mu_i = -3264$。因此 $|2\sqrt{5}E - A^*| = \frac{1}{4} \times (-3264) = -816$。