浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2t x_1x_2+4x_1x_3+x_2^2+3x_3^2$ 对应的矩阵 $A$ 为对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 2 & t & 2 \\ t & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，$A$ 对称
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $2t x_1x_2$ 对应 $a_{12}=t$。
步骤 2/6
目标：正定性条件：各阶顺序主子式大于0
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于0。计算一阶主子式 $\Delta_1=2>0$；二阶主子式 $\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & t \\ t & 1 \end{vmatrix}=2-t^2>0$，得 $t^2<2$；三阶主子式 $\Delta_3=\det A=2\cdot\begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}-t\cdot\begin{vmatrix}t&0\\2&3\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}t&1\\2&0\end{vmatrix}=6-3t^2-4=2-3t^2>0$，得 $t^2<\frac{2}{3}$。取交集得 $t\in(-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$。
公式：顺序主子式 $\Delta_k>0$
提示：三阶行列式计算易错，注意符号和展开方式。
步骤 3/6
目标：负惯性指数为1的条件分析
负惯性指数为1意味着规范形中负平方项个数为1，正平方项个数为2，即符号差为1。这等价于矩阵 $A$ 的正惯性指数为2，负惯性指数为1。由于 $\Delta_1>0$ 恒成立，当 $\Delta_2>0$ 且 $\Delta_3<0$ 时，正惯性指数为2，负惯性指数为1。
公式：惯性定理：正负惯性指数由合同变换唯一确定
提示：注意顺序主子式符号与惯性指数的关系：当所有顺序主子式非零时，正惯性指数等于顺序主子式序列中正数的个数。
步骤 4/6
目标：求解负惯性指数为1的参数范围
由 $\Delta_2>0$ 得 $t^2<2$；由 $\Delta_3<0$ 得 $2-3t^2<0$，即 $t^2>\frac{2}{3}$。联立得 $\frac{2}{3}
公式：不等式组求解
提示：注意开方后区间端点要准确，$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
步骤 5/6
目标：检查边界情况
当 $t=\pm\sqrt{2}$ 时，$\Delta_2=0$，$\Delta_3=-4<0$，此时矩阵秩为2，正惯性指数为1，负惯性指数为1，不满足负惯性指数为1（因为要求正惯性指数为2）。当 $t^2>2$ 时，$\Delta_2<0$，正惯性指数为1，负惯性指数为2。因此边界不包含在内。
公式：无
提示：注意 $\Delta_2=0$ 时需单独讨论，不能直接使用顺序主子式符号判定惯性指数。
步骤 6/6
目标：总结答案
正定时 $t\in\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$；负惯性指数为1时 $t\in(-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup(\frac{\sqrt{6}}{3},\sqrt{2})$。
公式：无
提示：最终答案用区间表示，注意开闭区间。
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