浙江大学 2026年高等代数第0题

设 $V = \{f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \mid a_i \in \mathbb{R}\}$。集合 $W = \{f \in V \mid f(1)=a, f(-1)=0\}$。$W$ 是子空间当且仅当零多项式 $0(x)=0$ 属于 $W$，即 $0(1)=a$ 且 $0(-1)=0$，故 $a=0$。若 $a \neq 0$，则零多项式不满足条件，$W$ 不是子空间。

当 $a=0$ 时，$W = \{f \in V \mid f(1)=0, f(-1)=0\}$。代入 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ 得方程组： $$ \begin{cases} a_0+a_1+a_2+a_3=0 \\ a_0-a_1+a_2-a_3=0 \end{cases} $$ 两式相加得 $2a_0+2a_2=0$，即 $a_2=-a_0$；相减得 $2a_1+2a_3=0$，即 $a_3=-a_1$。因此 $f(x)=a_0(1-x^2)+a_1(x-x^3)$，故 $W$ 的基为 $\{1-x^2, x-x^3\}$，维数为2。

内积定义为 $(f,g)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$。计算 $\|1-x^2\|^2 = \int_{-1}^1 (1-x^2)^2 dx = \int_{-1}^1 (1-2x^2+x^4)dx = \left[x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right]_{-1}^1 = 2\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right) = 2\cdot\frac{8}{15} = \frac{16}{15}$。所以 $\|1-x^2\| = \frac{4}{\sqrt{15}}$。

取 $e_1 = \frac{1-x^2}{\|1-x^2\|} = \frac{\sqrt{15}}{4}(1-x^2)$。

计算内积 $(x-x^3, e_1) = \int_{-1}^1 (x-x^3)\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}(1-x^2)dx = \frac{\sqrt{15}}{4}\int_{-1}^1 x(1-x^2)^2 dx$。被积函数为奇函数，在对称区间积分为0，故正交。

计算 $\|x-x^3\|^2 = \int_{-1}^1 (x-x^3)^2 dx = \int_{-1}^1 (x^2-2x^4+x^6)dx = \left[\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7\right]_{-1}^1 = 2\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right) = 2\cdot\frac{8}{105} = \frac{16}{105}$。所以 $\|x-x^3\| = \frac{4}{\sqrt{105}}$。

取 $e_2 = \frac{x-x^3}{\|x-x^3\|} = \frac{\sqrt{105}}{4}(x-x^3)$。因此 $W$ 的单位正交基为 $\left\{\frac{\sqrt{15}}{4}(1-x^2), \frac{\sqrt{105}}{4}(x-x^3)\right\}$。