浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将多项式表示为标准基下的坐标向量
将多项式 $f_1=2+2x^2+3x^3$, $f_2=1+x+x^2+3x^3$, $f_3=5+x+5x^2+9x^3$, $f_4=2x+3x^3$ 表示为标准基 $\{1, x, x^2, x^3\}$ 下的坐标向量：
$f_1 \rightarrow (2,0,2,3)^T$，
$f_2 \rightarrow (1,1,1,3)^T$，
$f_3 \rightarrow (5,1,5,9)^T$，
$f_4 \rightarrow (0,2,0,3)^T$。
提示：注意多项式各项的系数顺序，不要遗漏零系数项。
步骤 2/8
目标：验证 $f_1, f_2$ 和 $f_3, f_4$ 都是 $W$ 的基
由于 $f_1$ 和 $f_2$ 的坐标向量不成比例，它们线性无关。通过观察或解线性方程组可得 $f_3 = 2f_1 + f_2$，$f_4 = -f_1 + f_2$，因此 $f_3, f_4$ 可由 $f_1, f_2$ 线性表示，且 $f_3, f_4$ 也线性无关（因为系数矩阵可逆），所以 $f_1, f_2$ 和 $f_3, f_4$ 都是 $W$ 的基。
提示：验证线性无关时，可检查坐标向量构成的矩阵的秩是否为2。
步骤 3/8
目标：设过渡矩阵并建立方程
设从基 $f_1, f_2$ 到基 $f_3, f_4$ 的过渡矩阵为 $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，满足 $(f_3, f_4) = (f_1, f_2) P$，即 $f_3 = a f_1 + c f_2$，$f_4 = b f_1 + d f_2$。
公式：过渡矩阵定义：$(\beta_1, \beta_2) = (\alpha_1, \alpha_2) P$
提示：注意过渡矩阵是从旧基到新基的矩阵，新基向量用旧基表示。
步骤 4/8
目标：求解过渡矩阵元素 $a, c$
由 $f_3 = a f_1 + c f_2$ 的坐标表示：
$(5,1,5,9)^T = a(2,0,2,3)^T + c(1,1,1,3)^T = (2a+c, c, 2a+c, 3a+3c)^T$。
比较分量得方程组：
$2a+c=5$，$c=1$，$2a+c=5$，$3a+3c=9$。
解得 $a=2$，$c=1$。
提示：比较坐标时，每个分量对应相等，注意检查所有方程是否一致。
步骤 5/8
目标：求解过渡矩阵元素 $b, d$
由 $f_4 = b f_1 + d f_2$ 的坐标表示：
$(0,2,0,3)^T = b(2,0,2,3)^T + d(1,1,1,3)^T = (2b+d, d, 2b+d, 3b+3d)^T$。
比较分量得方程组：
$2b+d=0$，$d=2$，$2b+d=0$，$3b+3d=3$。
解得 $b=-1$，$d=2$。
提示：注意第二个方程直接给出 $d=2$，代入其他方程求解。
步骤 6/8
目标：写出过渡矩阵
因此过渡矩阵 $P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：过渡矩阵的列对应新基在旧基下的坐标。
步骤 7/8
目标：计算向量组 $f_1, f_3-f_2, 2f_3+f_4$ 的秩
首先计算 $f_3-f_2$ 和 $2f_3+f_4$ 的坐标：
$f_3-f_2 = (5,1,5,9) - (1,1,1,3) = (4,0,4,6)^T$，
$2f_3+f_4 = 2(5,1,5,9) + (0,2,0,3) = (10,4,10,21)^T$。
观察发现 $f_3-f_2 = 2f_1$，所以 $f_1$ 与 $f_3-f_2$ 线性相关。
又 $2f_3+f_4 = 2(2f_1+f_2) + (-f_1+f_2) = 3f_1+3f_2$，而 $f_1, f_2$ 线性无关，故 $2f_3+f_4$ 不能由 $f_1$ 单独表示，但可由 $f_1, f_2$ 表示。因此向量组 $f_1, f_3-f_2, 2f_3+f_4$ 的极大无关组包含两个向量，秩为2。
提示：利用已知的线性关系简化计算，避免直接对坐标矩阵做行变换。
步骤 8/8
目标：填写答案
过渡矩阵为 $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，向量组的秩为 $2$。
提示：注意答案格式：过渡矩阵是2×2矩阵，秩是整数。
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