浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解
$$
X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} .
$$
那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定解空间维数
矩阵 $A$ 的秩为 $3$，且 $A$ 是 $m \times 5$ 矩阵，因此齐次方程 $AX=0$ 的解空间维数为 $5-3=2$。非齐次方程 $AX=b$ 有解，其解集是一个仿射空间，维数也为 $2$。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 秩
提示：注意：解空间维数指的是齐次方程解空间的维数，非齐次方程的解集是平移后的仿射空间。
步骤 2/5
目标：计算特解之差
已知三个特解 $X_1, X_2, X_3$，则它们两两之差是齐次方程的解。计算如下：
$X_1 - X_2 = (1-0, -1-1, 2-(-1), 3-0, 1-(-2))^T = (1, -2, 3, 3, 3)^T$，
$X_1 - X_3 = (1-(-1), -1-1, 2-2, 3-1, 1-3)^T = (2, -2, 0, 2, -2)^T$，
$X_2 - X_3 = (0-(-1), 1-1, -1-2, 0-1, -2-3)^T = (1, 0, -3, -1, -5)^T$。
公式：若 $AX_1=b$ 且 $AX_2=b$，则 $A(X_1-X_2)=0$
提示：计算差值时注意对应分量相减，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：选取基础解系
由于解空间维数为 $2$，只需两个线性无关的差作为基础解系。检查 $X_1-X_2$ 与 $X_1-X_3$：它们对应分量不成比例，故线性无关。因此可取基础解系为 $\xi_1 = X_1-X_2$，$\xi_2 = X_1-X_3$。
提示：线性无关性可通过观察分量是否成比例或计算行列式判断。
步骤 4/5
目标：写出通解形式
非齐次方程的通解为 $X = X_1 + k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$，其中 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$。代入得：
$X = X_1 + k_1 (X_1-X_2) + k_2 (X_1-X_3)$。
公式：非齐次通解 = 特解 + 齐次通解
提示：特解可以选 $X_1, X_2, X_3$ 中任意一个，但通常选最简单的。
步骤 5/5
目标：确定极大线性无关组
所有解集合是一个仿射空间，其极大线性无关组包含一个特解和齐次解空间的一组基。由于 $X_1$ 不能由 $\xi_1, \xi_2$ 线性表示（否则 $b=0$ 矛盾），故 $\{X_1, \xi_1, \xi_2\}$ 线性无关，且任意解可由它们线性表示（注意系数和不为1时表示的是齐次解，但作为向量组，它们张成的空间包含所有解）。因此极大线性无关组可取为 $\{X_1, X_1-X_2, X_1-X_3\}$。
提示：注意：极大线性无关组是向量组的极大无关组，这里所有解集合作为向量组，其极大无关组包含3个向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。