浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
1 \\
3 \\
6
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-1 \\
1 \\
2
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\
3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\
1 & -1 & 1 & 1 & 8
\end{array}\right) .
$$
求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求线性变换的核W
解齐次线性方程组 $AX=0$，其中 $A$ 是 $4\times5$ 矩阵。对 $A$ 进行行化简：
$$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 0 & 3\\
2 & -2 & -1 & 2 & 4\\
3 & -3 & -1 & 4 & 5\\
1 & -1 & 1 & 1 & 8
\end{pmatrix}$$
行变换：$R_2-2R_1$, $R_3-3R_1$, $R_4-R_1$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -2\\
0 & 0 & 2 & 4 & -4\\
0 & 0 & 2 & 1 & 5
\end{pmatrix}$$
$R_3-2R_2$, $R_4-2R_2$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -3 & 9
\end{pmatrix}$$
交换 $R_3$ 和 $R_4$，并 $R_3$ 乘以 $-1/3$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
$R_2-2R_3$, $R_1+R_2$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
所以 $AX=0$ 的解为：$x_1 = x_2 - x_5$, $x_3 = -4x_5$, $x_4 = 3x_5$，其中 $x_2, x_5$ 自由。令 $x_2=1, x_5=0$ 得 $\beta_1=(1,1,0,0,0)^T$；令 $x_2=0, x_5=1$ 得 $\beta_2=(-1,0,-4,3,1)^T$。故 $W$ 的基为 $\beta_1,\beta_2$，$\dim W=2$。
公式：齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：行化简时注意保持矩阵等价变换，避免计算错误；自由变量的选取要确保基向量线性无关。
步骤 2/4
目标：求V的基和维数
$V=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$。构造矩阵 $B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ 并化简：
$$B=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & -1\\
-1 & 3 & 2 & 1\\
-2 & 6 & 4 & 2
\end{pmatrix}$$
行化简：$R_2+R_1$, $R_4+R_1$, $R_5+2R_1$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1 & -1\\
0 & 2 & 2 & 1\\
0 & 4 & 4 & 2
\end{pmatrix}$$
$R_3-R_2$, $R_4-2R_2$, $R_5-4R_2$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}$$
$R_5-2R_4$, $R_4/3$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
$R_2+R_4$, $R_1+R_2$ 得
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 线性无关，$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$。故 $V$ 的基为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$，$\dim V=3$。
公式：向量组线性无关的判定：行阶梯形矩阵中主元列对应的向量
提示：注意行化简时只做行变换，列对应向量；最终主元列对应原向量组中的极大无关组。
步骤 3/4
目标：求W+V的基和维数
$W+V$ 由 $\beta_1,\beta_2,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 张成。构造矩阵 $C=(\beta_1,\beta_2,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)$ 并化简：
$$C=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
1 & 0 & -1 & 2 & -1\\
0 & -4 & 0 & 1 & -1\\
0 & 3 & -1 & 3 & 1\\
0 & 1 & -2 & 6 & 2
\end{pmatrix}$$
行化简（过程略）：最终得到行最简形，发现5个向量线性无关，故 $\dim(W+V)=5$，所以 $W+V=\mathbb{R}^5$，基可取标准基 $e_1,\ldots,e_5$。
公式：维数公式：$\dim(W+V)=\dim W+\dim V-\dim(W\cap V)$
提示：计算多个向量张成的空间时，可将所有向量作为列构造矩阵，行化简后主元列对应极大无关组。
步骤 4/4
目标：求W∩V的基和维数
由维数公式：$\dim(W\cap V)=\dim W+\dim V-\dim(W+V)=2+3-5=0$，故 $W\cap V=\{0\}$，维数为0，无基。
公式：维数公式：$\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim(U+V)$
提示：当维数为0时，交空间为零空间，没有基向量。
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