浙江大学 2026年高等代数第0题

已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $m(\lambda)=(\lambda-a)^2(\lambda-b)^3(\lambda-c)^4$，其中 $a,b,c$ 互异。这表明 $C$ 的 Jordan 标准形中，特征值 $a,b,c$ 对应的最大 Jordan 块阶数分别为 $2,3,4$。设 $C$ 为 $n$ 阶矩阵，则特征值 $a,b,c$ 的代数重数 $n_a,n_b,n_c$ 满足 $n_a\ge 2, n_b\ge 3, n_c\ge 4$，且 $n_a+n_b+n_c=n$。

定义多项式 $f(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1$，$g(\lambda)=\lambda^4+2\lambda^2+3$。则 $A=f(C)$，$B=g(C)$，$A+B=(f+g)(C)$，其中 $f+g=2\lambda^4+\lambda^3+3\lambda^2+\lambda+4$。

由于 $C$ 可化为 Jordan 标准形 $J$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}CP=J$，其中 $J$ 是上三角矩阵。则 $P^{-1}AP=f(J)$，$P^{-1}BP=g(J)$，$P^{-1}(A+B)P=(f+g)(J)$ 均为上三角矩阵，且对角线元素分别为 $f(\lambda_i),g(\lambda_i),f(\lambda_i)+g(\lambda_i)$，其中 $\lambda_i$ 是 $J$ 的对角线元素（即 $C$ 的特征值，重复次数等于代数重数）。

由于相似变换不改变行列式，有 $|A|=\prod_{i=1}^n f(\lambda_i)$，$|B|=\prod_{i=1}^n g(\lambda_i)$，$|A+B|=\prod_{i=1}^n (f(\lambda_i)+g(\lambda_i))$，其中乘积遍及所有特征值（计入代数重数）。

计算 $f(\lambda)=\frac{\lambda^5-1}{\lambda-1}$（$\lambda\neq1$），且 $f(1)=5>0$。由于 $\lambda^5-1$ 仅有一个实根 $\lambda=1$，且当 $\lambda<1$ 时分子分母同负，$f(\lambda)>0$；当 $\lambda>1$ 时分子分母同正，$f(\lambda)>0$。故 $f(\lambda)>0$ 对所有实数 $\lambda$ 成立。而 $g(\lambda)=\lambda^4+2\lambda^2+3=(\lambda^2+1)^2+2>0$ 恒正。因此 $f(\lambda_i)>0$，$g(\lambda_i)>0$。

设 $x_i=f(\lambda_i)>0$，$y_i=g(\lambda_i)>0$，则 $|A+B|=\prod_{i=1}^n (x_i+y_i)$，$|A|=\prod_{i=1}^n x_i$，$|B|=\prod_{i=1}^n y_i$。展开乘积：$\prod_{i=1}^n (x_i+y_i)=\sum_{S\subseteq[n]}\prod_{i\in S}x_i\prod_{i\notin S}y_i$，其中 $S$ 取遍所有子集。当 $S=\emptyset$ 时项为 $\prod y_i=|B|$，当 $S=[n]$ 时项为 $\prod x_i=|A|$，其余项均为非负，故 $\prod (x_i+y_i)\ge \prod x_i+\prod y_i$，即 $|A+B|\ge |A|+|B|$。等号成立当且仅当所有交叉项为零，但 $x_i,y_i>0$，故等号不成立，严格大于。