浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．假如 $A^{*}$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式等于 $-1, \xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $A^{*}$ 的对应特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量，求 $A$ 所相似的 Jordan 标准型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用伴随矩阵性质建立特征向量关系
由题设，$\det(A) = -1$，且 $\xi = (-1, -1, 1)^T$ 是 $A^*$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征向量，即 $A^* \xi = \lambda_0 \xi$。由于 $A^* = \det(A) A^{-1} = -A^{-1}$，所以 $-A^{-1} \xi = \lambda_0 \xi$，两边左乘 $A$ 得 $-\xi = \lambda_0 A \xi$，即 $A \xi = -\frac{1}{\lambda_0} \xi$。令 $\mu = -\frac{1}{\lambda_0}$，则 $\xi$ 是 $A$ 的属于特征值 $\mu$ 的特征向量。
公式：$A^* = \det(A) A^{-1}$
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，且 $\det(A) = -1$ 是已知条件。
步骤 2/6
目标：计算 $A\xi$ 并建立方程组
计算 $A\xi$：
$$A\xi = \begin{pmatrix} a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + 1 + c \\ -5 - b + 3 \\ -(1-c) + 0 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + c + 1 \\ -b - 2 \\ -a + c - 1 \end{pmatrix}.$$
由 $A\xi = \mu \xi$ 得方程组：
$$\begin{cases} -a + c + 1 = -\mu \\ -b - 2 = -\mu \\ -a + c - 1 = \mu \end{cases}.$$
提示：计算矩阵乘法时注意符号，尤其是第三行。
步骤 3/6
目标：解方程组求参数 $a,b,c$ 及特征值 $\mu$
将第一式与第三式相加得 $(-a+c+1)+(-a+c-1) = -\mu + \mu = 0$，即 $-2a+2c=0$，所以 $a=c$。代入第一式得 $-a+a+1 = -\mu$，即 $1 = -\mu$，所以 $\mu = -1$。再由第二式得 $-b-2 = -(-1)=1$，解得 $b = -3$。因此 $A = \begin{pmatrix} a & -1 & a \\ 5 & -3 & 3 \\ 1-a & 0 & -a \end{pmatrix}$，且 $\mu = -1$。
提示：注意方程组中符号的一致性，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：利用行列式条件求 $a$
计算 $\det(A)$：
$$\det(A) = a \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 0 & -a \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1-a & -a \end{vmatrix} + a \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 1-a & 0 \end{vmatrix} = a(3a) + ( -5a - 3(1-a) ) + a( 0 + 3(1-a) ) = 3a^2 + (-5a -3 + 3a) + 3a(1-a) = 3a^2 -2a -3 + 3a - 3a^2 = a - 3.$$
令 $\det(A) = a - 3 = -1$，得 $a = 2$。所以 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：行列式按行展开公式
提示：计算行列式时注意符号，尤其是第二项前面的负号。
步骤 5/6
目标：求特征多项式确定特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)$：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -2 \\ -5 & \lambda+3 & -3 \\ 1 & 0 & \lambda+2 \end{vmatrix}.$$
按第三行展开：
$$= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ \lambda+3 & -3 \end{vmatrix} + 0 + (\lambda+2) \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 \\ -5 & \lambda+3 \end{vmatrix} = ( -3 + 2(\lambda+3) ) + (\lambda+2)[(\lambda-2)(\lambda+3) + 5] = (2\lambda+3) + (\lambda+2)(\lambda^2+\lambda-1).$$
展开得 $\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1 = (\lambda+1)^3$。所以 $A$ 的特征值全为 $-1$，代数重数为3。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)$
提示：按第三行展开时注意符号，第三行第一列元素为1，代数余子式符号为正。
步骤 6/6
目标：确定几何重数并写出Jordan标准型
已知 $A$ 有一个特征值 $-1$ 对应的特征向量 $\xi = (-1,-1,1)^T$，且特征多项式为 $(\lambda+1)^3$，说明特征值 $-1$ 的代数重数为3。由于只有一个线性无关的特征向量，几何重数为1。因此 $A$ 的Jordan标准型是一个3阶Jordan块：
$$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$
公式：Jordan标准型形式
提示：几何重数等于线性无关特征向量的个数，这里为1，所以Jordan块大小为3。
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