浙江大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．假如 $A, B, C$ 是实数域上 $n$ 维线性空间上的线性变换，满足 $(A-B) C=C(A-B)$ ，且 $C$ 是幂零的，如果 $B C-C B=10(A-B)$ ，证明：$A$ 和 $B$ 有相同的迹．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入记号并整理条件
令 $D = A - B$，则已知条件化为：
1. $(A-B)C = C(A-B)$ 即 $DC = CD$，$D$ 与 $C$ 可交换。
2. $BC - CB = 10(A-B) = 10D$。
另外，$C$ 是幂零的，即存在正整数 $k$ 使得 $C^k = 0$。
提示：注意 $D$ 的定义，以及条件中 $A-B$ 出现的位置，不要混淆。
步骤 2/6
目标：用 $A$ 和 $D$ 表示 $B$，并化简 $BC-CB$
由 $D = A-B$ 得 $B = A - D$。代入 $BC - CB$：
$$BC - CB = (A-D)C - C(A-D) = AC - DC - CA + CD = AC - CA - (DC - CD).$$
由于 $DC = CD$，所以 $DC - CD = 0$，因此 $BC - CB = AC - CA$。
结合条件 $BC - CB = 10D$，得到 $AC - CA = 10D$。
公式：$BC - CB = AC - CA$
提示：注意展开时符号，$-(A-D)C$ 要小心负号。
步骤 3/6
目标：利用迹的循环性质
对任意线性变换 $X, Y$，有 $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$，因此 $\operatorname{tr}(AC - CA) = \operatorname{tr}(AC) - \operatorname{tr}(CA) = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$
提示：迹的循环性只对有限维空间成立，这里 $n$ 维线性空间满足条件。
步骤 4/6
目标：对等式 $AC - CA = 10D$ 两边取迹
由 $AC - CA = 10D$，两边取迹得：
$$\operatorname{tr}(AC - CA) = \operatorname{tr}(10D) = 10 \operatorname{tr}(D).$$
而左边 $\operatorname{tr}(AC - CA) = 0$，所以 $10 \operatorname{tr}(D) = 0$，即 $\operatorname{tr}(D) = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(AC - CA) = 0$
提示：注意 $10$ 是标量，可以提到迹外面。
步骤 5/6
目标：由 $\operatorname{tr}(D)=0$ 推出 $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$
因为 $D = A - B$，所以 $\operatorname{tr}(D) = \operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 0$，故 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)$。
提示：迹是线性函数，$\operatorname{tr}(A-B)=\operatorname{tr}(A)-\operatorname{tr}(B)$。
步骤 6/6
目标：说明幂零条件的作用
本题中 $C$ 的幂零性并未直接用于迹的推导，但可能用于保证 $D$ 与 $C$ 可交换等性质。实际上，迹的结论仅由 $AC - CA = 10D$ 和迹的循环性即可得到。
提示：注意不要误以为幂零性直接导致迹为零，这里 $C$ 的迹为零是显然的，但并未使用。
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