湖南大学 2024年高等代数第1题

对 $f(x) = (x+1)^{2024} - x^{2024} - 1$ 求导，利用幂函数求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$，得 $f'(x) = 2024(x+1)^{2023} - 2024 x^{2023} = 2024\left[(x+1)^{2023} - x^{2023}\right]$。

令 $f'(x)=0$，即 $(x+1)^{2023} = x^{2023}$。两边取模得 $|x+1| = |x|$，表示复平面上到 $0$ 和 $-1$ 距离相等的点，即直线 $\operatorname{Re}(x) = -\frac12$。方程等价于 $\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2023} = 1$，且 $x \neq 0$。令 $\frac{x+1}{x} = \omega$，则 $\omega^{2023}=1$，且 $\omega \neq 1$（否则 $x+1=x$ 无解）。解得 $x = \frac{1}{\omega-1}$。因此根为 $x_k = \frac{1}{\omega_k - 1}$，其中 $\omega_k = e^{2\pi i k/2023}$，$k=1,2,\dots,2022$，共 $2022$ 个不同的复数根。

在复数域上，$f'(x)$ 可分解为一次因式的乘积：$f'(x) = 2024 \prod_{k=1}^{2022} \left(x - \frac{1}{\omega_k - 1}\right)$，其中 $\omega_k = e^{2\pi i k/2023}$。

由于 $f'(x)$ 的根都不是实数（实部为 $-\frac12$，虚部非零），且共轭成对出现。设 $\omega_k = e^{2\pi i k/2023}$，则 $\overline{\omega_k} = \omega_{2023-k}$。计算得 $\frac{1}{\omega_k-1} + \frac{1}{\overline{\omega_k}-1} = -1$，$\frac{1}{\omega_k-1} \cdot \frac{1}{\overline{\omega_k}-1} = \frac{1}{4\sin^2(\pi k/2023)}$。因此实数域上分解为二次因式乘积：$f'(x) = 2024 \prod_{k=1}^{1011} \left(x^2 + x + \frac{1}{4\sin^2(\pi k/2023)}\right)$。

$f(x)$ 有重根当且仅当 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公共根。设 $\alpha$ 是公共根，则 $(\alpha+1)^{2024} - \alpha^{2024} - 1 = 0$ 且 $(\alpha+1)^{2023} = \alpha^{2023}$。由后者得 $\alpha+1 = \omega \alpha$，其中 $\omega^{2023}=1$，$\omega \neq 1$。代入前者得 $(\omega \alpha)^{2024} - \alpha^{2024} - 1 = \alpha^{2024}(\omega^{2024} - 1) - 1 = 0$。由于 $\omega^{2023}=1$，故 $\omega^{2024} = \omega$，所以 $\alpha^{2024}(\omega - 1) = 1$。又由 $\alpha = \frac{1}{\omega-1}$ 代入得 $\left(\frac{1}{\omega-1}\right)^{2024}(\omega-1) = 1$，即 $(\omega-1)^{-2023} = 1$，所以 $(\omega-1)^{2023} = 1$。但 $\omega$ 是 $2023$ 次单位根，$\omega-1$ 的模长一般不为 $1$，除非 $\omega=0$，但 $\omega$ 是单位根，不可能为 $0$。因此无解，故 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 无公共根，所以 $f(x)$ 无重根。