湖南大学 2024年高等代数第5题

设 $\dim V = n$。取 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r, \alpha_{r+1}, \dots, \alpha_n$。则 $\operatorname{Im} \mathscr{A} = \operatorname{span}\{\mathscr{A}\alpha_1, \dots, \mathscr{A}\alpha_n\}$。由于 $\mathscr{A}\alpha_i = 0$ 对 $i=1,\dots,r$，故 $\operatorname{Im} \mathscr{A} = \operatorname{span}\{\mathscr{A}\alpha_{r+1}, \dots, \mathscr{A}\alpha_n\}$。

下证 $\mathscr{A}\alpha_{r+1}, \dots, \mathscr{A}\alpha_n$ 线性无关。设 $\sum_{i=r+1}^n k_i \mathscr{A}\alpha_i = 0$，则 $\mathscr{A}\left(\sum_{i=r+1}^n k_i \alpha_i\right) = 0$，故 $\sum_{i=r+1}^n k_i \alpha_i \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}$，可表示为 $\sum_{j=1}^r l_j \alpha_j$。由基的线性无关性得所有系数为零，从而 $k_i = 0$。

因此 $\dim \operatorname{Im} \mathscr{A} = n - r$，而 $\dim \operatorname{Ker} \mathscr{A} = r$，故 $\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathscr{A} + \dim \operatorname{Im} \mathscr{A}$。

若 $\mathscr{A}$ 可逆，则存在 $\mathscr{A}^{-1}$ 使得 $\mathscr{A}^{-1}\mathscr{A} = I$。若 $\mathscr{A}\alpha = 0$，则 $\alpha = \mathscr{A}^{-1}(0) = 0$，故 $\operatorname{Ker} \mathscr{A} = \{0\}$，即 $\mathscr{A}$ 为单射。

若 $\mathscr{A}$ 为单射，则 $\operatorname{Ker} \mathscr{A} = \{0\}$，由 (1) 得 $\dim \operatorname{Im} \mathscr{A} = \dim V$，故 $\operatorname{Im} \mathscr{A} = V$，即 $\mathscr{A}$ 为满射。因此 $\mathscr{A}$ 是双射，从而可逆。

取 $V = \mathbb{R}^{\infty}$，即所有实数列构成的向量空间。定义线性变换 $\mathscr{A}: V \to V$ 为右移位：$\mathscr{A}(x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, x_3, \dots)$。则 $\mathscr{A}$ 是单射（若 $\mathscr{A}(x) = 0$，则所有 $x_i = 0$），但 $\mathscr{A}$ 不是满射（例如 $(1,0,0,\dots)$ 不在像中），故 $\mathscr{A}$ 不可逆。